Solución:
Considere una matriz de $ 2 times 2 $ $$ A = left[matrix{a_{11} & a_{12}\ a_{21} & a_{22}}right]. $$ Usando las notaciones de columna $$ A_1 = left[matrix{a_{11}\ a_{21}}right], quad A_2 = left[matrix{a_{12}\ a_{22}}right]
$$ podemos escribir $$ A =[A_1 A_2], qquad det A = det[A_1 A_2]= f (A_1, A_2) = a_ {11} a_ {22} – a_ {21} a_ {12} $$ que es el determinante es una función de las columnas de la matriz $ A_1 $ y $ A_2 $.
Veamos ahora qué sucede cuando multiplicamos una columna, digamos la primera, con un número $ color {red} { lambda} $ $$ f ( color {red} { lambda} A_1, A_2) = det izquierda[matrix{color{red}{lambda}a_{11} & a_{12}\ color{red}{lambda}a_{21} & a_{22}}right]= color {rojo} { lambda} a_ {11} a_ {22} – color {rojo} { lambda} a_ {21} a_ {12} = color {rojo} { lambda} (a_ {11 } a_ {22} – a_ {21} a_ {12}) = color {rojo} { lambda} f (A_1, A_2). $$ Así, para multiplicar uno columna con un número es lo mismo que multiplicar el función completa con este número.
Veamos ahora qué sucede cuando sumamos dos columnas $$ f ( color {red} {A_1 ‘} + color {blue} {A_1’ ‘}, A_2) = det left[matrix{color{red}{a_{11}’}+color{blue}{a_{11}”} & a_{12}\ color{red}{a_{21}’}+color{blue}{a_{21}”} & a_{22}}right]= ( color {rojo} {a_ {11} ‘} + color {azul} {a_ {11}’ ‘}) a_ {22} – ( color {rojo} {a_ {21}’} + color {azul} {a_ {21} ”}) a_ {12} = \ = color {rojo} {a_ {11} ‘} a_ {22} – color {rojo} {a_ {21}’} a_ {12} + color {azul} {a_ {11} ”} a_ {22} – color {azul} {a_ {21} ”} a_ {12} = f ( color {rojo} {A_1 ‘ }, A_2) + f ( color {azul} {A_1 ”}, A_2). $$ Por lo tanto, sumar dos columnas en una y luego calcular el determinante es lo mismo que calcular primero los determinantes para cada término por separado manteniendo las otras columnas sin cambios y luego agregar el resultado.
Las funciones con tales propiedades se denominan lineal, sin embargo, el determinante no es lineal con respecto a la completo matriz $ A $, solo es lineal con respecto a cualquier columna en particular por separado. Por eso es un multilineal función de las columnas de la matriz. Lo mismo puede decirse de las filas también. Una generalización al caso $ n times n $ es sencilla.
La multilinealidad del determinante se sigue del principio de Cavalieri aplicado a paralelipípedos n-dimensionales.
El determinante de una matriz mide el volumen (n-dimensional) del paralelepípedo generado por las columnas de la matriz:
Multilinealidad significa que el determinante es una función lineal en cada columna de la matriz de entrada, independientemente. Es decir:
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$$ det left ( begin {bmatrix} { color {violeta} lambda} mathbf {v_1} & mathbf {v_2} & dots & mathbf {v_n} end {bmatrix} right) = { color {violeta} lambda} det left ( begin {bmatrix} mathbf {v_1} & mathbf {v_2} & dots & mathbf {v_n} end {bmatrix} right) $$
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$$ det left ( begin {bmatrix} mathbf { color {verde oscuro} u} + mathbf { color {azul} w} & mathbf {v_2} & dots & mathbf {v_n} end {bmatrix} right) = det left ( begin {bmatrix} mathbf { color {verde oscuro} u} & mathbf {v_2} & dots & mathbf {v_n} end {bmatrix} right) + det left ( begin {bmatrix} mathbf { color {azul} w} & mathbf {v_2} & dots & mathbf {v_n} end {bmatrix} right), $$
y fórmulas similares deben ser válidas para la segunda, tercera, etc. columnas.
La primera propiedad (sacar de los escalares $ lambda $) es fácil de ver y ya se discutió en la respuesta de user2520938. Cuando escala linealmente un paralelepípedo en una sola dirección, aumenta su volumen por el factor de escala:
Para ver que se cumple la segunda propiedad (multilinealidad bajo adición), traslade los dos paralelípedos asociados con el lado derecho de 2. para que compartan un paralelípedo de menor dimensión como una cara común (el paralelípedo definido por los vectores compartidos $ mathbf { v_2}, puntos, mathbf {v_n} $). Todos los cortes de este objeto combinado tienen la misma forma, y estos cortes también tienen la misma forma que los cortes del paralelipípedo sumado asociado con el lado izquierdo de 2. Por lo tanto, según el principio de Cavalieri, los cortes paralelos asociados con los lados izquierdo y derecho. de 2. debe tener el mismo volumen:
Para intuir el principio de Cavalieri, solo piense en una pila de monedas. Si toma una pila recta de monedas y la corta en cualquier patrón, el volumen permanece igual (crédito de imagen para la pila de monedas en wikipedia):
Por supuesto, el mismo argumento es válido cuando se aplica a cualquier otra columna, por lo tanto, el determinante es multilineal en las columnas de la matriz de entrada.
No es lineal, o más precisamente es lineal solo para matrices de tamaño $ 1 $.
Para una matriz de tamaño $ n veces n $, el determinante, en función de las columnas de la matriz, es multilineal.
Si $ A =[a_1,a_2,dots, a_n]$, donde $ a_i $ son columnas (con $ n $ filas), luego $$ det ( lambda_1a_1, a_2, dots, a_n]= lambda det (A) $$
que es la definición de multilinealidad.
Dependiendo de su definición de determinante, la propiedad se puede probar de diferentes maneras.
Si su definición es que el determinante es la suma (sobre todas las permutaciones) de productos de elementos en $ A $, donde toma un elemento de cada columna y cada fila, entonces es obvio que en cada suma (para cada permutación) usted tome exactamente un elemento, multiplicado por $ lambda $.