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Solución:
En términos generales, el gradiente de un campo escalar (como el potencial electrostático) apunta en la dirección del mayor cambio de ese campo. Dado que no se produce ningún cambio en el campo cuando recorre la superficie, el degradado no debería tener un componente en esa dirección.
Aquí hay otra explicación intuitiva: imagine por un momento que el campo eléctrico no fuera perpendicular a la superficie. Eso significa que tiene un componente a lo largo de la superficie. Ahora, los campos eléctricos ejercen una fuerza sobre las cargas, entonces ahora tenemos una fuerza sobre las cargas en el conductor a lo largo de la superficie del conductor. Esta fuerza no se equilibra con nada más, por lo que moverá la carga. Pero eso significa que nuestro sistema aún no estaba en equilibrio, ya que la carga se movía. En equilibrio, las cargas deben estar en reposo, y eso sólo puede ser así cuando no hay fuerza eléctrica a lo largo de la superficie, es decir, cuando es perpendicular a ella.
Nota: Usted dice que $varphi = 0$ dentro y sobre la superficie del conductor. Eso no es true. $varphi$ es constante en el interior y en la superficie del conductor.
Suponiendo que ese campo eléctrico no sea perpendicular a la superficie, entonces debe haber una componente del campo eléctrico que sea paralela a la superficie. Dado que el campo eléctrico se define como el gradiente de potencial, la superficie del conductor no tendría un potencial constante.