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Solución:
Esta será una respuesta conceptual esencialmente sin matemáticas, aunque básicamente todo lo que digo aquí puede hacerse matemáticamente riguroso mediante la función de energía potencial y el concepto de un mínimo local de dicha función.
Puede haber una gran cantidad de razones para el fenómeno que describe, pero todas las razones que se me ocurren se reducen a las siguientes:
Cuando colocas el objeto, permanece allí, al menos inicialmente, porque está en una posición estable. equilibrio mecanico.
Básicamente, esto significa que si considera todas las configuraciones del objeto que están lo suficientemente cerca de su inicial, la fuerza neta sobre el objeto es tal que si está en cualquiera de estas configuraciones cercanas (que forman lo que llamaré el “vecindario de estabilidad”), luego volverá a la configuración inicial. Sin embargo, si perturbas demasiado el objeto, ya no será empujado hacia atrás ni permanecerá donde está, sino que será empujado. Si sucede esto, entonces podría alcanzar otro punto de equilibrio mecánico estable, o podría “escapar” por completo.
El punto principal aquí que responde a su pregunta es que el equilibrio mecánico es un local noción. Esto se refleja en el hecho de que si desplaza demasiado el objeto, “caerá” en otro punto de equilibrio local o, de lo contrario, abandonará por completo la vecindad de su configuración inicial.
¿Cómo responde esto a tu pregunta? Bueno, si un objeto está en una de estas configuraciones de equilibrio estable durante el tiempo suficiente, entonces es probable que suceda uno de los siguientes
Caso 1. En algún momento, algún agente externo ejerce una perturbación lo suficientemente grande sobre el objeto como para que su configuración abandone la vecindad en la que volverá a su configuración inicial.
Caso 2. Pequeñas perturbaciones se acumulan con el tiempo y hacen que el objeto pase de una configuración estable a otra (o a una configuración inestable) de modo que, en algún momento lo suficientemente tarde, la vecindad de estabilidad del objeto está justo al lado de una posición que haría que el objeto se moviera. muy lejos de su configuración estable inicial (o el objeto simplemente se alejaría mucho de la vecindad de estabilidad original).
Aquí hay ejemplos para ilustrar lo que quiero decir:
Caso 1 – Ejemplo Real. ¡Esto realmente me sucedió hoy! Equilibré un animal de peluche monstruoso que tengo encima de la pantalla de mi computadora y noté que incluso podía darle una pequeña patada y no se caía, así que pensé “está bien, creo que se sentará ahí”. por un momento.” Aproximadamente una hora después, noté que Darren (sí, el nombre de mi monstruo de peluche es Darren) se había caído de su posición. ¿Qué ha pasado? Bueno, entre el momento en que lo senté por primera vez y el momento en que se cayó, abrí la puerta corrediza de mi patio, y supongo que una pequeña ráfaga de viento lo voló. En términos más técnicos, la ráfaga de viento lo suficientemente grande como para que la configuración de Darren cambiara lo suficiente como para que ya no estuviera en el vecindario de estabilidad alrededor de su configuración inicial, y la fuerza de la gravedad hizo el resto del trabajo para empujarlo.
Caso 2 – Ejemplo Real. Ayer estaba escuchando música con mi subwoofer a todo volumen. Tenía una moneda de veinticinco centavos en mi escritorio. La moneda de veinticinco centavos estaba a una o dos pulgadas del borde, por lo que podría haberla movido ligeramente de su configuración inicial si se hubiera caído. Sin embargo, con el tiempo, la vibración del woofer hizo que el cuarto se acercara cada vez más al borde. En algún momento, la moneda estaba tan cerca de la mitad del borde (aunque todavía en una posición de estabilidad por quizás una fracción de milímetro) que una patada vibratoria más del woofer hizo que cayera por el borde del escritorio.
Considere la energía potencial de un objeto:
$V(vec r)$. Es bien sabido que la fuerza sobre ese objeto debido a cualquier interacción que genere el potencial viene dada por $vec F = -vec nablaV$. Por lo tanto, si quiero mantener el objeto estacionario, simplemente necesito colocarlo en algún lugar donde desaparezca el gradiente del potencial.
¡Pero espera! ¿Qué sucede si empujo un poco mi cosa estacionaria? Es posible que mi potencial no tenga un gradiente cero donde sea que termine. Si este es el caso, entonces tengo algunas posibilidades:
1) La nueva fuerza sobre mi objeto lo empuja de vuelta al lugar de donde vino. Esto es genial, porque entonces, nuestros empujones restauran el objeto al equilibrio.
2) la nueva fuerza sobre el objeto empuja al objeto más lejos de su punto de reposo. Si esto sucede, seguramente terminará en algún lugar loco.
3) lo empuja en alguna otra dirección. Si este es el caso, los resultados estarán entre los casos 1) y 2).
A partir de este argumento, debe quedar claro que si quiero que mi objeto permanezca permanentemente en la posición donde comenzó, es necesario que el potencial sea tal que, si me desplazo en cualquier dirección lejos de mi punto de equilibrio, entonces cualquier fuerza sobre el partícula me empujará hacia el equilibrio. Resulta que, matemáticamente, lo que esto significa es que $fracpartial^2Vpartial x^1x^2 > 0$ para cualquier elección de variables espaciales $x^ 1$ y $x^2$, o, en términos matemáticos más precisos, la arpillera del potencial tiene componentes que son todos mayores que cero.
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