Solución:
TL; DR: son muchos los factores que impiden que un lápiz quede perfectamente equilibrado. El más importante de ellos es el principio de incertidumbre que hará que el lápiz se caiga en menos de cuatro segundos. Para más detalles, sigue leyendo …
Respuesta corta: NO. El primer fotón de luz que lo golpee perturbaría su equilibrio perfecto. Las fuerzas de marea de la luna (que no siempre apuntan en la misma dirección) la perturbarían. Las fuerzas de las mareas del sol lo perturbarían. Podría seguir.
La ecuación de movimiento de un lápiz nos dice que tan pronto como esté fuera del centro en la menor cantidad, el movimiento se acumulará. No es un equilibrio estable.
Y el grafito no puede sostener el peso de un lápiz en una punta afilada monoatómicamente … Según este proveedor de grafito de alta calidad, la resistencia a la compresión es de aproximadamente 25 ksi (~ 170 MPa – figura 5-2 de la referencia). La punta más pequeña que puede soportar el peso de 0.05 N sería un círculo con un radio de 0.01 mm. Esa es una punta bastante afilada, para un lápiz. No es ni mucho menos “atómico”.
Finalmente, incluso en el cero absoluto, el principio de incertidumbre requiere que la posición del centro de masa no se conozca perfectamente. Las fluctuaciones (requeridas mecánicamente cuánticas) de la posición del centro de masa deberían ser suficientes para hacer que el lápiz se caiga eventualmente.
ACTUALIZACIÓN: el impacto de un solo fotón
Es instructivo calcular cuánto tarda un lápiz en caer para una desviación determinada del equilibrio (suponiendo por un momento un pivote perfecto en la parte inferior, es decir, el único par aplicado se debe a la gravedad). Lo muestro aquí para un lápiz que fue golpeado por un solo fotón verde, y el resultado es sorprendentemente corto.
Modelando el lápiz como una varilla uniforme con masa $ m $, longitud $ ell $, momento de inercia $ I = frac 1 3 m ell ^ 2 $, el torque $ Gamma $ cuando está en un ángulo $ theta $ a la vertical es
$$ Gamma = frac12 mg ell sin theta $$
Para pequeñas deflexiones, $ sin theta = theta $ y usaremos esa suposición a continuación. Entonces la ecuación de movimiento se convierte en
$$ I ddot theta = frac12 mg ell theta \ frac13 m ell ^ 2 ddot theta = frac12 mg ell theta ddot theta = frac 3 g 2 ell theta $$
Esto se parece mucho a la ecuación de un oscilador armónico simple, pero con el signo incorrecto. De hecho, obtenemos una solución muy similar, pero con funciones hiperbólicas.
Poniendo $ frac 3 g 2 ell = alpha ^ 2 $, podemos integrar esto dos veces para obtener un
$$ theta = C_1 e ^ alpha t + C_2 e ^ – alpha t $$
Si el lápiz comienza en el equilibrio, podemos establecer $ theta = 0 $ en $ t = 0 $, lo que reduce lo anterior a
$$ theta = 2C_1 sinh alpha t $$
Dada una velocidad inicial $ v_0 $, vemos que
$$ v_0 = frac ell 2 dot theta = ell C_1 alpha cosh alpha t $$ entonces
$$ C_1 = frac v_0 ell alpha = frac v_0 ell sqrt 3 g / 2 ell = frac v_0 sqrt frac32 g ell $$
Ahora que tenemos una expresión para $ theta $, podemos resolver con una velocidad inicial dada:
$$ t = frac 1 alpha sinh ^ – 1 frac theta C_1 $$
$$ = sqrt frac 2 ell 3 g sinh ^ – 1 left ( frac theta sqrt frac32 g ell v_0 right) $ PS
Ahora viene la parte divertida. Supongamos que golpeamos el lápiz perfectamente equilibrado con un solo fotón de luz verde. El impulso de tal fotón es aproximadamente
$$ p = frac E c = frac h lambda approx 10 ^ – 27 Ns $$
Supongamos que el lápiz es negro para que el fotón no se refleje. La masa de un lápiz es de aproximadamente 0,005 kg, una longitud de 20 cm. La velocidad del lápiz después de la colisión con el fotón es aproximadamente (sí, hay algunos factores para tener en cuenta el impacto de compensación, etc. Estoy ignorando todos esos, no cambia la respuesta básica):
$$ v_0 = frac p m = 2 cdot 10 ^ – 25 m / s $$
Supongamos que “caer definitivamente” corresponde a un ángulo de 0,5 grados, o aproximadamente 0,01 rad. Podemos poner los valores en la ecuación anterior y encontrar t $ approx $ 6 s.
Un fotón. Seis segundos. Es un tiempo sorprendentemente corto … pero está a punto de empeorar:
ACTUALIZACIÓN 2 – la importancia del principio de incertidumbre
También es interesante ver cuánto tardaría un lápiz en caer dada una desviación inicial de la vertical, porque luego podemos deshacernos de un fotón y usar el principio de incertidumbre para estimar el tiempo máximo que el lápiz se equilibrará.
Si el centro de masa está desviado en $ Delta x $, entonces el ángulo es $ Delta theta = frac 2 Delta x ell $.
Usando las mismas ecuaciones que antes, encontramos $ C_1 + C_2 = Delta theta $. Supongamos que la velocidad inicial es cero, porque “en promedio” lo será, dado que es igualmente probable que la dirección de la velocidad inicial apunte hacia el equilibrio y se aleje de él, por lo que obtenemos $ C_1 = C_2 $, y la solución es una función $ cosh $:
$$ theta = 2 C_1 cosh ( alpha t) $$
Donde $ C_1 = frac Delta theta 2 = frac Delta x ell $.
Ahora tenemos el tiempo de caer (tiempo de alcanzar un cierto $ theta $) como
$$ t = frac 1 alpha cosh ^ – 1 left ( frac theta ell 2 Delta x right) $$
La ecuación que obtuvimos anteriormente para el tiempo tomado con una velocidad inicial dada se puede reescribir como
$$ t = frac 1 alpha sinh ^ – 1 left ( frac theta ell alpha Delta v right) $$
y sabemos que
$$ Delta x Delta p = hbar $$
Obviamente, el tiempo más largo para equilibrar se alcanzará cuando los dos tiempos sean iguales; de lo contrario, uno será más largo y el otro más corto, y será el tiempo más corto el que dominará. Para resolverlo, sustituimos $ Delta x = frac hbar m Delta v $ y obtenemos
$$ cosh ^ – 1 left ( frac theta ell m Delta v hbar right) = sinh ^ – 1 left ( frac theta ell alpha Delta v right) $$
Si el término entre paréntesis es lo suficientemente grande, entonces podemos (con el propósito de estimar) establecer
$$ frac theta ell m Delta v hbar = frac theta ell alpha Delta v $$
De lo que se sigue que
$$ Delta v = sqrt frac theta ell alpha hbar theta ell m = sqrt frac alpha hbar m $$
Sustituyendo los valores por el lápiz, encontramos
$$ Delta v = 4 cdot 10 ^ – 16 m / s $$
que es muchos órdenes de magnitud mayor que la velocidad debido a que el lápiz es golpeado por un fotón. El momento de caer es entonces
$$ t = frac 1 alpha sinh ^ – 1 left ( frac theta ell alpha Delta v right) approx 3.7 s $$
Por lo tanto, un lápiz “teórico” perfectamente equilibrado que se encuentra en su punta monoatómica, caerá en promedio en unos pocos segundos debido al principio de incertidumbre.
DESPUÉS mi hija me acaba de señalar una publicación interesante que calcula lo mismo y da una respuesta muy similar. El autor se firma a sí mismo como “Alemi”. Hay un colaborador en este sitio con el mismo identificador. Creo que reconozco el estilo del proceso de pensamiento, así que voy a dar una punta del sombrero tardíamente. Por cierto, esa publicación tiene un valor de aproximadamente 3.6 segundos. Que es sorprendentemente similar al valor que obtuve.
No. Para equilibrar perfectamente, el lápiz tendría que estar perfectamente erguido y perfectamente quieto. El principio de incertidumbre limita qué tan bien puede hacer ambas cosas al mismo tiempo.
El momento y la posición forman un par conjugado. $$ Delta x Delta p geq frac hbar 2 $$.
El momento angular y la posición angular también forman uno. $$ Delta L Delta Theta geq frac hbar 2 $$
Esto no garantiza que el momento angular y la posición angular sean distintos de cero. Es una incertidumbre: los valores reales pueden ser cualquier cosa, incluidos $ 0 $.
Pero evita que los arregles para que el lápiz permanezca en posición vertical. Además, si pregunta cuál es la probabilidad de encontrar ambos valores muy cerca de $ 0 $, encuentra que es muy pequeño. En el límite, infinitamente improbable.
Si resulta que $ L = Theta = sqrt hbar $, y coloca valores razonables para la masa y la longitud del lápiz, encontrará que se cae en unos segundos.
Actualización tardía
Estaba esperando hasta el fin de semana para agregar una actualización. Cuando llegó aquí, Floris había dejado muy poco que añadir. E hizo un mejor trabajo del que yo hubiera hecho. Buenas respuestas.
Varios usuarios sintieron que un lápiz ideal afilado con una punta atómica no era realista. El lápiz debe tener una parte plana en la parte inferior.
Mi propio pensamiento es que el lápiz debería montarse en una de esas poleas sin masa y sin fricción que parecen ser tan comunes en las aulas de física de la escuela secundaria.
Sin embargo, un lápiz plano puede tratarse de forma semiclásica. Debido al principio de incertidumbre, el lápiz tiene un momento inicial y, por lo tanto, una energía inicial. Esto hará que el lápiz se incline. Lo que a su vez hará que el lápiz gire alrededor de un borde del piso. El centro de masa se elevará hasta que esté directamente sobre el borde del piso. Si la energía de “incertidumbre” inicial es mayor que la energía necesaria para elevar el centro de masa, el lápiz se volcará.
Un tratamiento de mecánica cuántica trataría la región donde el centro de masa está sobre el interior del piso como un pozo potencial. Existe la posibilidad de que se produzca un túnel.
Ambos escenarios se tratan con todo detalle (con diagramas en caso de que mi descripción no sea clara) aquí. Encontré este enlace siguiendo la “interesante publicación de Floris que calcula lo mismo”. Esa publicación tenía algunos comentarios al final. El último comentario contiene el enlace.
No. El peso del lápiz es de aproximadamente 1 Newton y el área es de aproximadamente 500 picómetros cuadrados (5 * 10-22) lo que significa que la presión en la punta es de alrededor de 2 ZettaPascal. Eso es bastante más de lo que puede soportar el grafito (o el diamante) (eso se mide en GigaPascal)
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