Patricia, parte de este gran staff, nos hizo el favor de escribir esta reseña ya que conoce muy bien dicho tema.
Solución:
Hacemos sólo algunos comentarios.
$1.$ Tenga en cuenta que $2pi$ es un período de $sin x$ o, de manera equivalente, $1$ es un período de $sin(2pi x)$.
Pero $sin x$ tiene muchos otros períodos, como $4pi$, $6pi$, etc. Sin embargo, $sin x$ no tiene período (positivo) corto que $2pi$.
$2.$ Si $p$ es un período de $f(x)$, y $H$ es ningún función, entonces $p$ es un período de $H(f(x))$. Entonces, en particular, $2pi$ es a periodo de $sen^2 x$. Sin embargo, $sin^2 x$ tiene un período menor que $2pi$, es decir, $pi$. Tenga en cuenta que $sin(x+pi)=-sin x$, entonces $sin^2(x+pi)=sin^2 x$. Resulta que $pi$ es el período más corto de $sin^2 x$.
$3.$ Para sumas y productos, la situación general es complicada. Sea $p$ un periodo de $f(x)$ y sea $q$ un periodo de $g(x)$. Supongamos que hay enteros positivos $a$ y $b$ tales que $ap=bq=r$. Entonces $r$ es un periodo de $f(x)+g(x)$, y también de $f(x)g(x)$.
Entonces, por ejemplo, si $f(x)$ tiene $5pi$ como punto y $g(x)$ tiene $7pi$ como punto, entonces $f(x)+g(x)$ y $ f(x)g(x)$ cada uno tiene $35pi$ como período. Sin embargo, incluso si $5pi$ es el período más corto de $f(x)$ y $7pi$ es el período más corto de $g(x)$, el número $35pi$ no necesita ser el período más corto de $ f(x)+g(x)$ o $f(x)g(x)$.
Ya teníamos un ejemplo de este fenómeno: el período más corto de $sin x$ es $2pi$, mientras que el período más corto de $(sin x)(sin x)$ es $pi$. He aquí un ejemplo más dramático. Sean $f(x)=sin x$, y $g(x)=-sin x$. Cada función tiene el período más pequeño $2pi$. ¡Pero su suma es la función $0$, que tiene cada número positivo $p$ como punto!
$4.$ Si $p$ y $q$ son períodos de $f(x)$ y $g(x)$ respectivamente, entonces cualquier múltiplo común de $p$ y $q$ es un período de $H(f( x), g(x))$ para ningún función $H(u,v)$, en particular cuando $H$ es suma y cuando $H$ es multiplicación. Entonces, el mínimo común múltiplo de $p$ y $q$, si existe, es un período de $H(f(x),g(x))$. Sin embargo, no tiene por qué ser el pequeñísimo período.
$5.$ Los períodos pueden exhibir un comportamiento bastante extraño. Por ejemplo, sea $f(x)=1$ cuando $x$ es racional, y sea $f(x)=0$ cuando $x$ es irracional. Entonces todo racional positivo $r$ es un periodo de $f(x)$. En particular, $f(x)$ es periódico pero no tiene un período más corto.
$6.$ Muy a menudo, la suma de dos funciones periódicas no es periódica. Por ejemplo, sea $f(x)=sin x+cos 2pi x$. El primer término tiene periodo $2pi$, el segundo tiene periodo $1$. La suma no es un período. El problema es que $1$ y $2pi$ son inconmensurable. No existen enteros positivos $a$ y $b$ tales que $(a)(1)=(b)(2pi)$.