La guía o código que verás en este artículo es la resolución más fácil y válida que hallamos a tus dudas o problema.
Yo también prefiero llamar a las variables aleatorias $ X $ y $ Y $. Puede pensar en $ X $ y $ Y $ como tiempos de espera para que sucedan dos cosas independientes (digamos $ A $ y $ B $ respectivamente). Supongamos que esperamos hasta que suceda el primero de estos. Si es $ A $, entonces (por la propiedad de falta de memoria de la distribución exponencial) el tiempo de espera adicional hasta que ocurra $ B $ todavía tiene la misma distribución exponencial que $ Y $; si es $ B $, el tiempo de espera adicional hasta que ocurra $ A $ todavía tiene la misma distribución exponencial que $ X $. Eso dice que la distribución condicional de $ XY $ dado $ X> Y $ es la distribución de $ X $, y la distribución condicional de $ XY $ dado $ X < Y$ is the distribution of $-Y$. Since $P(X>Y) = frac lambda mu + lambda $, que dice que el PDF de $ XY $ es $$ f (x) = frac lambda mu lambda + mu cases e ^ – mu x & if $ x> 0 $ cr e ^ lambda x & if $ x <0 $ cr $$
La respuesta correcta depende en gran medida de su formación matemática. Asumiré que ha visto algunos cálculos de varias variables, y no mucho más allá de eso. En lugar de usar sus $ u $ y $ v $, usaré $ X $ y $ Y $.
La función de densidad de $ X $ es $ lambda e ^ – lambda x $ (para $ x ge 0 $) y $ 0 $ en cualquier otro lugar. Existe una expresión similar para la función de densidad de $ Y $. Por independencia, el articulación La función de densidad de $ X $ y $ Y $ es $$ lambda mu e ^ – lambda x e ^ – mu y $$ en el primer cuadrante y $ 0 $ en el resto.
Sea $ Z = YX $. Queremos encontrar la función de densidad de $ Z $. Primero encontraremos la función de distribución acumulativa $ F_Z (z) $ de $ Z $, es decir, la probabilidad de que $ Z le z $.
Entonces queremos la probabilidad de que $ YX le z $. La geometría es un poco diferente cuando $ z $ es positivo que cuando $ z $ es negativo. Haré $ z $ positivo, y tú puedes encargarte de $ z $ negativos.
Considere $ z $ fijo y positivo, y dibujar la línea $ yx = z $. Queremos encontrar la probabilidad de que el par ordenado $ (X, Y) $ termine debajo de esa línea o en ella. La única región relevante está en el primer cuadrante. Entonces, sea $ D $ la parte del primer cuadrante que se encuentra debajo o en la línea $ y = x + z $. Entonces $$ P (Z le z) = iint_D lambda mu e ^ – lambda x e ^ – mu y , dx , dy. $$
Evaluaremos esta integral usando una integral iterada. Primero integraremos con respecto a $ y $, y luego con respecto a $ x $. Tenga en cuenta que $ y $ viaja desde $ 0 $ hasta $ x + z $, y luego $ x $ viaja desde $ 0 $ hasta el infinito. Entonces $$ P (Z le x) = int_0 ^ infty lambda e ^ – lambda x left ( int_ y = 0 ^ x + z mu e ^ – mu y , dy derecha) dx. $$
La integral interna resulta ser $ 1-e ^ – mu (x + z) $. Entonces ahora necesitamos encontrar $$ int_0 ^ infty left ( lambda e ^ – lambda x – lambda e ^ – mu z e ^ – ( lambda + mu) x derecha) dx. $$ La primera parte es fácil, cuesta $ 1 $. La segunda parte es bastante rutinaria. Terminamos con $$ P (Z le z) = 1- frac lambda lambda + mu e ^ – mu z. $$ Para la función de densidad $ f_Z (z) $ de $ Z $, diferenciar la función de distribución acumulativa. Obtenemos $$ f_Z (z) = frac lambda mu lambda + mu e ^ – mu z quad text para $ z ge 0 $. $$ Tenga en cuenta que solo tratamos con $ z $ positivos. Un argumento muy similar le dará $ f_Z (z) $ con valores negativos de $ z $. La principal diferencia es que la integración final es de $ x = -z $ en adelante.
Existe una forma alternativa de obtener el resultado aplicando la Ley de la probabilidad total:
$$ P[W] = int_Z P[W mid Z = z]f_Z (z) dz $$
Como otros han hecho, dejemos $ X sim exp ( lambda) $ y $ Y sim exp ( mu) $. Lo que sigue es el único paso poco intuitivo: en lugar de calcular directamente el PDF de $ YX $, primero calcule el CDF: $ P[X-Y leq t]PS (luego podemos diferenciar al final).
$$ P[Y – X leq t] = P[Y leq t+X]
$$
Aquí es donde aplicaremos la probabilidad total para obtener
$$ = int_0 ^ infty P[Y leq t+X mid X=x]f_X (x) dx $$$$ = int_0 ^ infty P[Y leq t+x]f_X (x) dx = int_0 ^ infty F_Y (t + x) f_X (x) dx $$
Tenga en cuenta que la sustitución del CDF aquí solo es válida si $ t geq 0 $,
$$ = int_0 ^ infty (1- e ^ – mu (t + x)) lambda e ^ – lambda x dx = lambda int_0 ^ infty e ^ – lambda x dx – lambda e ^ – mu t int_0 ^ infty e ^ – ( lambda + mu) x dx $$$$ = lambda left[ frace^-lambda x-lambda right]^ infty_0 – lambda e ^ – mu t left[ frace^-(lambda+mu)x-(lambda+mu) right]^ infty_0 = 1 – frac lambda e ^ – mu t lambda + mu $$
Diferenciar esta última expresión nos da el PDF:
$$ f_ YX (t) = frac lambda mu e ^ – mu t lambda + mu quad text por $ t geq 0 $ $$
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