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Solución:
La parametrización “estándar” (la que encuentra cuando busca eso) parece tener la intención de proporcionar una continuo parametrización alrededor de la curva. (Esto puede estar relacionado con que la lemniscata es un caso especial de la clase de curvas conocidas como “óvalos de Cassinian”, pero aún no he investigado mucho). Usar esa forma para $ x(t) $ y $y(t)$, obtenemos (para $a = 1$)
$$ x^2(t) + y^2(t) = 2 fraccos^2 t (1 + sin^2 t)(1 + sin^2 t )^2 = 2 fraccos^2 t 1 + sin^2 t . $$
EDITAR — Por cierto, esto es no una parametrización de longitud de arco (que fue mi pensamiento inicial). Si bien el integrando no se ve tan mal [ $ a sqrt2 int fracdthetasqrtcos 2 theta ] $ , la función integral no es elemental…
Las gráficas de $ x(t) , y(t) , $ y $ sqrtx^2 + y^2 $ se muestran a continuación.
Esto cubre la curva sobre el intervalo $ 0 le t le 2 pi $ como se ve aquí.
La parametrización que encontró usando coordenadas polares es una alternativa válida, pero debido a que la ecuación es $ r^2 = 2a^2 cos 2t , $ no puede producir radios admisibles para la curva polar en los intervalos (en el círculo principal) $ fracpi4 < t < frac3 pi4 $ o $ frac5pi4 < t < frac7 pi4 . $ Al ir "un poco fuera" del círculo principal, los dos lóbulos de la lemniscata se pueden cubrir individualmente como se muestra aquí (nuevamente para $ a = 1 $ ).
Entonces, la parametrización que encontró no está definida para intervalos periódicos en los números reales.
Hasta un factor de escala, el resultado final parece idéntico y he colocado las curvas una al lado de la otra en lugar de una encima de la otra. El camino por el cual la curva atraviesa la lemniscata varía. Su parametrización es la curva azul, mientras que la roja es la parametrización que encuentra en Mathworld, Wikipedia, etc.
Desde aquí ambas curvas se encuentran con el origen y luego atraviesan la última hoja de la lemniscata. ¡Interesante!
La ruta algo tortuosa (al menos para mí) para generar las ecuaciones paramétricas de la lemniscata de Bernoulli se basa en el conocimiento de que la lemniscata es la curva inversa de la hipérbola equilátera con respecto a su centro. Si partimos de la fórmula de la curva inversa de $beginpmatrixf(t)&g(t)endpmatrix^top$ respecto a una circunferencia con centro en el origen y radio $a$:
$$beginalign x&=fraca^2 f(t)f(t)^2+g(t)^2\ y&=fraca^2 g(t) f(t)^2+g(t)^2 endalinear$$
y sustituimos en las ecuaciones paramétricas por la hipérbola equilátera $beginpmatrixsec(t)&tan(t)endpmatrix^top$, obtenemos
$$beginalign x&=fraca^2sec(t)sec^2(t)+tan^2(t)\ y&=fraca^2tan (t)sec^2(t)+tan^2(t) endalign$$
que se transforma fácilmente (con las identidades habituales) en
$$beginalign x&=fraca^2cos(t)1+sin^2(t)\ y&=fraca^2sin(t)cos( t)1+sen^2(t) endalinear$$
que es lo mismo que las ecuaciones paramétricas en el OP, hasta un factor de escala.
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