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Paradoja de los límites en el caso de la función seno

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Solución:

El límite no existe, pero no porque “tanto el numerador como el denominador estén en [-1,1]por lo que no podemos determinar cuál es exactamente”. El denominador es $0$ siempre que $frac1x$ sea un múltiplo de $π$, por lo que en cualquier intervalo abierto que contenga $0$ hay un punto en el que la expresión no está definida, y por lo tanto el límite no existe, esto no tiene nada que ver con el comportamiento oscilatorio del numerador y el denominador.

En su otro ejemplo, el límite es de hecho $1$ porque está definido y es igual a $1$ en cualquier intervalo abierto de $0$ menos $0$ en sí mismo.

Al considerar $lim_xto 0 f(x)$, no importa si $f(0)$ está definido o no. Sin embargo, todavía deberíamos echar un vistazo al dominio donde tu se define la función $f(x)=fracsin(1/x)sin(1/x)$. El problema es que a veces podemos dividir por $0$, es decir, en primer lugar, $frac1x$ no está definido para $x=0$, pero también $sin(1/x)=0$ siempre que $frac1x$ sea un múltiplo entero de $pi$. Por lo tanto, el dominio máximo de $f$ es $$D=mathbb Rsetminusbigl(\cup\,tfrac1kpimid kinmathbb Zsetminus 0\,\bigr).$$ Observamos que para $epsilon>0$ arbitrarios, el conjunto $Dcap(-epsilon,epsilon)$ tiene más espacios que solo en $x= 0 $ y solo puedo imaginar que esto es lo que objeta su libro. Por otro lado, tiene sentido definir $lim_xto a f(x)$ para todo $ainoverline D$ y eso incluiría el caso $a=0$. Solo una redacción “desafortunada” de la definición de límite puede evitar esto, por lo que debe verificar cuál es la definición exacta de $lim_xto af(x)$ en su libro (incluidas las condiciones que se imponen donde se define $f$).

No sé si debería ser un comentario o una respuesta:

En la mayoría de los libros, la definición de límite es: dado $ epsilon > 0$, existe $delta > 0$ tal que $|f(x) – l| < epsilon$ para todos los $0<|x| < delta$. Usando esta definición, no hay límite, como lo explican muchas otras respuestas.

Sin embargo, algunos libros usan: dado $ epsilon > 0$, existe $delta > 0$ tal que $|f(x) – l| < epsilon$ para todos los $x$ en el dominio de $f$ que satisfacen $0<|x| < delta$. Con esta segunda definición, entonces su función es constante en su dominio de definición y el límite existe.

Supongo que su libro está usando la primera definición.

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