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¿Para todo campo vectorial existe siempre una forma de volumen para la cual el campo vectorial es una homotecia?

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Solución:

Si existe tal forma de volumen $Omega$, por el teorema de Moser podemos elegir las coordenadas locales en las que $Omega=dx^1 wedge dots wedge dx^n$. Si en unas coordenadas $v$ desaparece para ordenar $k$, para alguna $k>1$, pero no para ordenar $k$, entonces lo mismo es true en cualquier coordenada. Por ejemplo, podemos suponer que $v=f^2w$ con $f=0$ en algún punto donde $df ne 0$ y $w ne 0$ y $w$ no son tangentes a $f=0$ en ese punto. Esta condición es invariante de coordenadas, y calculamos que $mathcalL_v Omega=C Omega$ justo cuando $C=0$ y $2mathcalL_w f + f , textdiv w = 0$. Pero en $f=0$ esto fuerza a $mathcalL_w f =0$ tangente, una contradicción. Entonces $v$ no conserva $Omega$. Pero entonces $v$ no conserva ninguna forma de volumen.

Allá puede ser obstrucciones, incluso en el caso proyectivo e incluso cuando el campo vectorial no se desvanece a segundo orden. Supongamos dada una estructura proyectiva sobre una variedad $n$ $M$ y un campo vectorial proyectivo $X$ que desaparece en un punto $pen M$. Entonces, en coordenadas proyectivas normales (ya sea la versión de Thomas-Veblen o la versión de Cartan) $x = (x^i)$ con centro en $p$, el campo vectorial $X$ tendrá la forma $$ X = a^i_j x^j fracparcial parcial x^i + (b_j x^j) left(x^i fracparcial parcial x^i right) $$ para algunas constantes $a^i_j$ y $b_j$. Si $Omega = f,dx^1wedgecdotswedge dx^n$ es una forma $n$ en una vecindad de $p$, entonces la condición de que $mathcalL_X Omega = C Omega$ es que $f$ satisface la ecuación diferencial parcial $$ a^i_j x^j fracpartial fpartial x^i + (b_j x^j) izquierda(x^i fracparcial fparcial x^iright) +bigl( (n+1) (b_j x^j) + a^i_i - Cbigr) f = 0. $$ Al evaluar esto en $x=0$, se obtiene $(a^i_i-C)f(0) = 0$, por lo que si $Omega$ no se anula en $0$, se debe tener $C = a^i_i$. Suponiendo esto, la ecuación se simplifica a $$ a^i_j x^j fracpartial fpartial x^i + (b_j x^j) left(x^i frac parcial fpartial x^iright) +(n+1) (b_j x^j) f = 0. $$ Escribiendo $f = f_0 + f_1 + cdots$, donde $f_k$ es el $k$-ésimo término homogéneo en la serie de Taylor, la ecuación anterior ahora implica las relaciones recursivas $$ a^i_j x^j fracpartial f_kpartial x^i + (n+ k) (b_j x^j) f_k-1 = 0 qquad (kge 1). $$ Obviamente, esto no se puede cumplir para $k=1$ con $f_0not=0$ a menos que $b_j = a^i_jc_i$ para algunas constantes $c_i$. (Tenga en cuenta, en particular, que un campo vectorial $X$ de la forma anterior que no satisface esta condición proporciona una respuesta negativa a la pregunta restante de Vladimir; la divergencia en $p$ no es realmente relevante.) Por el contrario, si esta condición se cumple, entonces $$ f = (1 + c_ix^i)^-(n+1) $$ satisface la ecuación, por lo que la forma $n$ deseada $Omega$ existe, con $C = a^i_i$, al menos en un entorno abierto de $p$.

Por lo tanto, siguiendo los comentarios anteriores de Vladimir, la respuesta a la pregunta motivadora de la geometría proyectiva se reduce a si, cuando la curvatura proyectiva no desaparece en $p$, uno siempre tiene $b_j=a^i_jc_i$ para algunas constantes $c_i$ cuando $X$ es un campo vectorial proyectivo que se desvanece en $p$. (Quizás Vladimir sabe si esto es true. ¿Vladimir?)

Para un campo vectorial $v$ en una región de $mathbb R^n$ y un elemento de volumen $Omega=f,Lambda$ (donde $Lambda$ es el elemento de volumen de Lebesgue y $f$ es un elemento estrictamente positivo función suave), la ecuación $$mathcal L_vOmega=C,Omega$$ (con $Cinmathbb R$ constante) es equivalente al hecho de que para cada conjunto medible $A$ tenemos $$ |v^t(A)|_Omega=mathrm e^C,t|A|_Omega,$$ donde $v^t$ es el difeomorfismo obtenido siguiendo el campo vectorial $v$ durante un tiempo $t$, y $|A|_Omega:=int_AOmega$ es la medida de $A$ según $Omega$. Observe que en esta formulación podemos permitir funciones de densidad más generales $f$.

Considere cerca de $0inmathbb R^2$ el campo vectorial $$v(x,y)=y,(x,partial_y-y,partial x).$$ Este campo vectorial fluye a lo largo de los semicírculos $$ sqrtx^2+y^2=const,quad y>0$$ hacia la izquierda, desde un punto fijo geométricamente repulsivo en el eje $x$ positivo hasta un punto fijo similar que atrae en el $x$ negativo. eje. Cada semianillo $$epsilonleqsqrtx^2+y^2leq 2epsilon,quad ygeq 0$$ se conserva, pero su contenido se presiona hacia la izquierda (a una tasa exponencial) . Vemos inmediatamente que el elemento de volumen $Omega$ no puede existir para este $v$, porque la mitad derecha del semianillo se expande y la mitad izquierda se contrae. Pero este campo vectorial todavía tiene cero divergencia en el origen.

Para obtener un ejemplo con divergencia distinta de cero, vamos a $mathbb R^3$ y definimos $$v(x,y,z)=y,(x,partial_y-y,partial x)-z ,partial_z,$$ que tiene una divergencia distinta de cero en una vecindad del origen. El flujo de este campo vectorial envía cada semi-sólidotorus $$S_k=left(x,y,z):epsilonleqsqrtx^2+y^2leq 2epsilon, y geq 0, zinleft[frac epsilonmathrm e^k+1,frac epsilonmathrm e^kright]right$$ al siguiente semi-solidtorus $S_k+1$ después de una unidad de tiempo. Pero el contenido se vuelve a comprimir hacia la izquierda. Entonces la función de densidad $f$ tiene singularidades en el plano $z=0$.

Más detalladamente, al comparar las medidas de Lebesgue $|S_k|_Lambda=c,e^-k$ con la medida $Omega$ $|S_k|_Omega=c',C^k $ vemos que necesitamos tener $C=frac 1mathrm e$ para mantener la esperanza de que el factor de densidad $f$ está limitado por arriba y por abajo por constantes estrictamente positivas. Pero este valor en realidad no es importante porque no necesitamos saber cuánto mide cada $S_k$ según $Omega$. Basta saber que la densidad de la izquierda es mucho (exponencialmente en $k$) mayor que la densidad de la derecha. Tendremos singularidades (exponenciales) de $f$ a lo largo del eje $x$ positivo o del eje $x$ negativo.

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