Este enunciado fue probado por especialistas así se asegura la veracidad de este ensayo.
Solución:
Entonces $U_n$ es el grupo de unidades en $mathbbZ/nmathbbZ$.
Escribe la descomposición en primos $$ n=p_1^alpha_1cdots p_r^alpha_r. $$
Por el teorema chino del resto $$ mathbbZ/nmathbbZ=mathbbZ/p_1^alpha_1mathbbZtimesldotstimesmathbbZ/p_r ^alpha_rmathbbZ $$ entonces $$ U_n=U_p_1^alpha_1timesldotstimes U_p_r^alpha_r. $$
Para potencias de $2$, tenemos $$ U_2= $$ y para $kgeq 2$ $$ U_2^k=mathbbZ/2mathbbZtimes mathbbZ/2^k-2mathbbZ. $$
Para primos impares $p$, $$ U_p^alpha=mathbbZ/phi(p^alpha)mathbbZ=mathbbZ/p^alpha-1 (p-1)mathbbZ. $$
Ahora ves que $U_n$ es cíclico si y solo si $$ n=2,4,p^alpha,2p^alpha $$ donde $p$ es un primo impar.
Aquí hay una referencia.
$U_n$ es cíclico si y sólo si $n$ es $2$, $4$, $p^k$ o $2p^k$, donde $p$ es un primo impar.
La demostración se deriva del teorema chino del resto para anillos y del hecho de que $C_m times C_n$ es cíclico si y si $(m,n)=1$ (aquí $C_n$ es el grupo cíclico de orden $n$).
La parte difícil es probar que $U_p$ es cíclico y esto se sigue del hecho de que $mathbb Z/p$ es un campo y que $n = sum_dmid n phi(d)$.
Cualquier libro sobre teoría elemental de números tiene una demostración de este teorema. Véase, por ejemplo, André Weil’s Teoría de números para principiantes.Levéque’s Fundamentos de la teoría de númerosy de Bolker Teoría elemental de números.
Aquí “cíclico si y solo si $varphi(n)=lambda(n)$” pero no hay prueba – la prueba es elemental pero muy complicada.
Recuerda algo, que te concedemos comentar si tropezaste tu preocupación en el momento justo.