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Solución:
De su última declaración, es evidente que comprende la técnica general para encontrar extremos: para una función diferenciable $ f (x, y, cdots) $ en un dominio abierto o cerrado $ D $, primero buscamos en el interior puntos críticos. Esto al encontrar ceros comunes de todas las derivadas parciales. Una vez que hemos encontrado los puntos críticos, examinamos su naturaleza (suprema, infima, puntos silla). Finalmente, si $ D $ tiene un límite, como en su primer problema, investigamos el límite por separado. Esto se puede hacer mediante multiplicadores de Lagrange o parametrizando el límite y encontrando los extremos de la función resultante en el límite; el segundo método tiene sentido en su caso.
Entonces, parece que sus problemas son más computacionales que elegir las técnicas incorrectas. Intentaré ayudarte con las preguntas sin revelar las respuestas por completo (esto no tendría sentido).
- Nuestra función es $ f (x, y) = sin (x) + sin (y) + sin (x + y) $ y nuestro dominio es el cuadrado $[0,pi/2]veces [0,pi/2]PS En el interior del cuadrado, observe los ceros comunes de $ parcial_x f $ y $ parcial_y f $. Por ejemplo $$ partial_x f = cos (x) + cos (x + y) = 0 $$ y $$ partial_y f = cos (y) + cos (x + y) = 0. $$ Si se cumplen ambas ecuaciones, podemos restarlas ecuación por ecuación (eliminando así el molesto término $ cos (x + y) $) y obtener $$ cos (x) – cos (y) = 0 . $$ Pero en $[0,pi/2]$ el coseno es monótono, por lo que la única forma en que dos cosenos pueden ser iguales es si sus argumentos lo son. Entonces $ x = y $. Luego regresamos a cualquiera de las ecuaciones originales para obtener $ cos (x) + cos (2x) = 0 $ y podemos usar $ cos (2x) = 2 cos (x) ^ 2 -1 $ para concluir $$ 2 cos (x) ^ 2 + cos (x) -1 = 0, $$ una cuadrática que confío que puedas resolver para $ cos (x) $ dando finalmente $ x $. Encontrará dos valores, ¡pero solo uno es importante!
El límite es más fácil. Solo necesita verificar cuatro segmentos de línea: $ x = 0, pi / 2 $ y $ y = 2, pi / 2 $. Por ejemplo, en el segmento de línea $ y = pi / 2 $ la variable $ x $ va desde $ 0 $ a $ pi / 2 $ y su función es $$ f (x, pi / 2) = sin ( pi / 2) + sin (x) + sin (x + pi / 2) = 1+ sin (x) + cos (x). $$ Confío en que puedas encontrar extremos para esta función. Una vez que hayas terminado con los cuatro lados del cuadrado (¡no olvides revisar las esquinas!), Reúne todos los valores que encontraste junto con el del interior y compáralos. Un teorema que conoce establece que una función continua siempre tiene un mínimo y un máximo en un conjunto acotado cerrado, por lo que sabe que el mayor de los valores que encontró es el máximo y el más pequeño el mínimo.
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Aquí no hay límite, por lo que es un cálculo más pequeño. No se deje intimidar por el grado de los monomios que aparecen. Razona inteligentemente: quieres encontrar el máximo. Si $ x, y, z $ son todos una mil millonésima, verá que $ f $ tiene un valor positivo. Entonces $ 0 $ no puede ser el máximo. Pero si alguna de las tres variables es cero, su función se convierte en cero. Dado que ese no puede ser el máximo, puede asumir con seguridad $ x, y, z neq 0 $, lo que ayuda mucho porque puede dividir libremente entre ellos. Ahora solo tome derivadas parciales. Por ejemplo, $$ partial_z f = xy-x ^ 2y-xy ^ 2-2xyz = 0. $$ Dividiendo por $ xy $ obtienes $$ 1-xy-2z = 0. $$ Obtendrás ecuaciones similares de la otras dos derivadas, y fácilmente concluirá que $ x, y, z $ deben ser todas iguales, y luego, volviendo a la ecuación anterior, concluya que cualquiera de ellas es $ 1/4 $. Ahora bien, este es un punto crítico, pero ¿es un máximo, un mínimo o un punto de silla de montar? Para esto, desea verificar el hessiano de $ f $ en el punto crítico, y este es un cálculo sencillo ahora que tiene sus coordenadas.
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Milly resolvió esto parcialmente arriba. Para mostrar que una función no tiene extremos, todo lo que necesita hacer es encontrar puntos con valores cada vez más altos (o más bajos y más bajos). ¿Puede entender que si hace esto, puede concluir que su función no tiene extremos globales? En caso afirmativo, todo lo que necesita hacer es encontrar puntos convenientes. ¿Y qué es más conveniente que simplemente elegir su línea favorita y ver si funciona? Algunas de mis líneas favoritas son los ejes de coordenadas como $ x = y = 0 $. Si restrinjo su función allí, obtengo $ f (0,0, z) = 2z ^ 2 $ y para un $ z $ grande se vuelve tan grande como desee, más grande que cualquier extremo global hipotético, por lo que este último no puede existir. Milly hizo esto eligiendo otra línea $ x = y = -z $ que dio grandes valores negativos. En general, pruebe su función en curvas simples. Empiece con líneas simples. Si no funcionan, ¿por qué no funcionan? Responder a esta pregunta puede darle una pista sobre qué otra curva usar.
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Tiene la misma forma que 1. ¿Puedes ver qué cambios, si es que hay algo,? En particular, ¿cuál es el dominio de la función? ¿Está abierto o cerrado? Proceda como en el problema 1.
Algunas sugerencias generales sobre cómo encontrar extremos: siempre comience por tener una imagen clara del dominio y sus propiedades geométricas. ¿Está abierto, cerrado? ¿Qué es el límite? ¿El interior? Si no tienes un dominio perfecto del dominio, has perdido el juego incluso antes de conseguir la armadura de cuero.
Luego trabaje sistemáticamente, pero no a ciegas. No se apresure a los multiplicadores de Lagrange en un dominio cuyo límite tiene quince esquinas, razón por la que debe haber una forma más fácil. Una simetría, una parametrización sencilla o simplemente una observación sobre la función que le permite tratar el límite inmediatamente (por ejemplo, f es cero en todo el límite). Preste atención a su función por encima del dominio. Luego trata el interior. El sistema de ecuaciones resultante puede ser complicado de hacer y no existe un método canónico, por supuesto, pero siempre busque las simplificaciones. Si un término es demasiado complicado para trabajar con él, puede desaparecer después de alguna manipulación.
No tenga miedo de utilizar sus teoremas. ¡Son tu arsenal, no tu enemigo! El hecho de que el Hessian le permita comprender la naturaleza de un punto crítico en la mayoría de los casos le da poder y certeza.
Finalmente, trate el límite; examínelo, vea si necesita usar multiplicadores de Lagrange y, si es así, verifique si la ecuación que describe el límite es correcta y si tiene las relaciones correctas entre los gradientes. Si no es así, parametrice el límite con cuidado y resuelva el problema de extremos en una dimensión hacia abajo. En los puntos donde el límite no es diferenciable, los métodos diferenciales fallan y debe verificar estos puntos a mano. Por lo general, no son demasiados. Si hay infinitos de ellos, o entraste en la clase equivocada o tu instructor lo hizo.
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