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Solución:
En mi libro Introducción a los colectores suavesdefino $T_pM$ como el conjunto de todos los mapas lineales $vcolon C^infty(M)tomathbb R$ que satisfacen
$$ v(fg) = f(p)vg + g(p)vf $$
para todos $f,gin C^infty(M)$. Tenga en cuenta que el mapa cero es un elemento de todos estos espacios, por lo que $T_pM$ y $T_qM$ no son disjuntos para $pne q$.
Para otras definiciones de vectores tangentes, la disyunción podría seguir automáticamente. Usar la unión disjunta en la definición del paquete es solo una forma práctica de garantizar que los espacios vectoriales asociados con diferentes puntos sean disjuntos independientemente de la definición que se use.
Tienes razón, las construcciones “habituales” de $T_p M$ como un conjunto de derivaciones o un conjunto de clases de equivalencia de curvas produce espacios tangentes disjuntos en puntos distintos. Así se podría definir $T’M = bigcup_p in M T_pM$ que es la unión de espacios vectoriales disjuntos por parejas. solía $T’M$ para distinguirlo de $TM = bigcup_p in M p veces T_pM$.
Posee $T’M$ cualquier beneficio en comparación con $TM$? Existe una biyección canónica entre ambos conjuntos, y si introducimos la habitual estructura suave en $TM$ y (mutatis mutandis) en $T’M$entonces esta biyección resulta ser un difeomorfismo.
Se podría argumentar que la proyección del paquete $pi’ : T’M a M$ tiene la propiedad de que la fibra sobre $p$ es el “true” espacio tangente $T_pM$mientras $pi : TM a M$ tiene la fibra $p veces T_pM$ que es solo una copia de $T_pM$. Pero como saben, hay varias construcciones para $T_pM$ que producen espacios vectoriales formalmente diferentes. Por lo tanto, es una cuestión bastante filosófica cuál es el true variante debe ser, y $p veces T_pM$ tiene el mismo derecho que $T_pM$.
En mi opinión es cuestión de gustos si quieres trabajar con $TM$ o $T’M$. Por supuesto, lo mismo se aplica a otros paquetes como paquetes tensoriales, paquetes cotangentes, etc.
Aquí hay un ejemplo donde el adicional $p$ es útil. Para subvariedades suaves $M subconjunto mathbb R^N$ hay una bonita construcción geométrica del espacio tangente en $p$: Tome todas las curvas suaves $c$ en $matemáticas R^N$ cuya imagen está contenida en $ millones y que pasan $p$ en algún $t_0$. Entonces el conjunto de todas las derivadas $c'(t_0)$ forma un $dim M$-subespacio lineal dimensional $tilde T_pM$ de $matemáticas R^N$. Estas $tilde T_pM$ no son pares disjuntos. Necesitamos el punto $p$ para hacerlos disjuntos y luego definir
$$tilde TM = bigcup_p in M p times tilde T_pM subset mathbb R^2N.$$
Resulta que esta es una subvariedad suave de $matemáticas R^2N$ que es difeomorfo al abstracto $TM$.
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