Después de mirar en diferentes repositorios y sitios webs de internet finalmente hemos hallado la respuesta que te enseñaremos pronto.
Solución:
Del obituario de Lefschetz de Hurewicz: “En una fecha posterior (1941) y en un resumen muy breve de este Boletín, Hurewicz introdujo el concepto de secuencia exacta cuya expansión similar a un hongo en la topología reciente es bien conocida”.
Aquí está el resumen transcrito en su totalidad:
329. Witold Hurewicz: Sobre los teoremas de dualidad.
Dejar $A$ ser un espacio localmente compacto, $B$ un subconjunto cerrado de $A$y $H^n(A)$, $H^n(B)$, $H^n(AB)$ la $n$grupos cohomológicos -dimensionales de los conjuntos $A$, $B$y $AB$ (con números enteros como coeficientes). Considere los “homomorfismos naturales” $H^n(A)flecha derecha H^n(B)flecha derecha H^n+1(AB)flecha derecha$$H^n+1(A)flecha derecha H^n+1(AB)$. Se puede demostrar que el núcleo de cada uno de estos homomorfismos es la imagen del homomorfismo precedente. Esta declaración contiene la generalización de Kolmogoroff del teorema de la dualidad de Alexander y tiene muchas aplicaciones. Usando el teorema anterior se puede probar: Si $A$ y $B$ son espacios compactos de dimensión $n$ y $m$ respectivamente, la condición necesaria y suficiente de que el producto topológico $Aveces B$ ser de dimensión $n+m$ es la existencia de un conjunto abierto $U subconjunto A$ y un conjunto abierto $V subconjunto B$ tal que $H^n(U)$ y $H^m(V)$ contienen elementos $alfa$ y $beta$ satisfaciendo las siguientes condiciones: Si el número entero $d$ es un factor del orden de $alfa$entonces $beta notequiv 0 textrmmódulo d$ (es decir, no hay ningún elemento $gamma$ de $H^m(V)$ satisfactorio $beta=dgamma$); si el entero $e$ es un factor del orden de $beta$entonces $alpha notequiv 0 textrmmódulo e$. (Recibido el 3 de mayo de 1941.)
Las imágenes rasterizadas del resumen se encuentran a continuación.
Una sucesión exacta corta $$0to Ato Bto Cto 0$$ le dice que para entender $B$ a menudo puede dividir el trabajo en tres partes: primero entienda $A$, luego entienda $C$, luego, finalmente, intente unir su comprensión de $A$ y $C$ con la comprensión de $B$ en sí.
Aparecen por todas partes porque esta estrategia suele tener éxito.
PD A veces se procede de otra manera. Por ejemplo, puede estar interesado en saber algo sobre $A$, pero es difícil, por lo que encuentra un $B$ más grande, que con suerte es más fácil de estudiar, pero entonces la información que obtuvo no es sobre $A$ sino sobre $ B$, entonces $C$ mide la diferencia. De manera similar, a menudo uno está interesado en $C$, y es conveniente describirlo como el cociente de un objeto más simple $B$: pero entonces $B$ y $C$ no son lo mismo, por supuesto, y necesita para estudiar su diferencia, que está codificada en el objeto $A$.
En el libro “A History of Algebraic and Differential Topology, 1900 – 1960” de Jean Dieudonne http://www.amazon.com/History-Algebraic-Differential-Topology-1900/dp/0817649069 hay una sección “Exact Sequences” en las páginas 85-89 donde se describe una historia algo detallada de este concepto. Según Dieudonne, la primera aparición de la secuencia exacta ocurrió en un breve artículo sobre la teoría de la dimensión sin pruebas de Hurewicz (mencionado en las respuestas anteriores). La observación esencial de Hurewicz fue que en una secuencia dada de homomorfismos la imagen de cada homomorfismo era el núcleo del siguiente, pero no usó el nombre de “secuencia exacta” para caracterizar esta propiedad. Al mismo tiempo, de forma independiente, Eckmann, Ehresmann y Feldbau describieron cada uno lo que más tarde se denominó secuencia exacta de homotopía de un espacio de fibras. En ese momento nadie notó ninguna relación entre estos resultados y el de Hurewicz.
Las siguientes dos apariciones de secuencias exactas en la teoría de la homología ocurrieron en 1945. La primera, bajo el nombre de “sistema natural de grupos y homomorfismos”, fue en la teoría axiomática de la homología de Eilenberg y Steenrod. El segundo, independientemente, estaba en el primer artículo de topología de H. Cartan, aunque no usó el término “secuencia exacta”. Este término apareció por primera vez en un artículo de 1947 de Kelley y Pitcher (también mencionado en las respuestas anteriores). Observaron que la noción de “secuencia exacta” es significativa para grupos conmutativos arbitrarios y homomorfismos de grupos y que todas las secuencias exactas previamente consideradas en homología son solo casos especiales de un resultado puramente algebraico que se aplica a los complejos de cadenas de grupos conmutativos.
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