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Solución:
De acuerdo con la dualidad de Poincaré, una variedad $n$ compacta $M$ es orientable si y si $H_n(M,mathbbZ) neq 0$. Los grupos de homología del espacio proyectivo real se pueden calcular utilizando una descomposición de celdas con solo una celda en cada dimensión. Este artículo de wikipedia tiene una buena explicación de por qué esto conduce a un grupo de homología dimensional superior que se desvanece o $mathbbR mathbbP^n$ iff $n$ es par.
Un marco ortonómico en el polo norte de la esfera 2 se puede llevar al polo sur ya sea por traslación paralela a lo largo de un gran círculo o por el mapa antípoda. Si el plano proyectivo fuera orientable, estos dos marcos resultantes serían iguales.
Pero el marco traducido y el marco identificado tienen orientación opuesta.
Las esferas impares tienen la misma orientación, por lo que los espacios proyectivos impares son orientables.
Como mencionaste en la pregunta, $pi:mathbbS^nrightarrowmathbbRmathbbP^n$ es un $mathbbZ_2$-cubierta principal, con grupo de cubierta $1,alfa$dónde $alfa$ es el mapa antípoda de $mathbbS^n$. Ya que $picircalpha=pi$ obtenemos retrocesos satisfactorios $alpha^*circpi^*=pi^*$que muestra si $mathbbRmathbbP^n$ es orientable entonces $alfa$ debe conservar la orientación retirando la misma orientación en $mathbbRmathbbP^n$ a $mathbbS^n$. Pero el mapa antípoda $alfa$ es orientación conservando iff $n$ es impar.
Nos encantaría que puedieras comunicar este ensayo si si solucionó tu problema.