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Orden del conjunto de homomorfismos de grupo de $mathbb{Z}^n$ en un grupo finito arbitrario $G$.

Después de tanto batallar ya dimos con la respuesta de esta duda que agunos lectores de este sitio tienen. Si tienes algún detalle que compartir no dejes de dejar tu conocimiento.

Solución:

Sé que esta es una respuesta realmente poco rigurosa, pero esto es lo que tengo. Se agradecen mucho las críticas. Me referí a esta respuesta en mathoverflow.

Observa primero que $|mathrmHomleft(mathbbZ^n, Gright)|$ = $|mathrmHomleft(mathbbZ^n-1times mathbbZ, Gright)|$. Una vez más, podemos describir de forma única cada elemento de ese conjunto describiendo a dónde envían las bases; en otras palabras

$$ Phi_nleft(gamma_nright) = left(gamma_nleft(1,0,....,0right), gamma_nleft(0,1,....,0 right),...,gamma_nleft(0,0,....,1right)right)quadtextn veces $$

Pero tenga en cuenta que esto es lo mismo que describir dónde cada elemento envía el primer $n-1$ bases a, y luego a dónde envía el $n$ª base a. Por eso, $mathrmimleft(Phi_nright)$ está en biyección con el conjunto de todos $left(mathrmimleft(Phi_n-1right), gright)$ dónde $gin G$ tal que la propiedad del homomorfismo aún se mantiene.

Para que el homomorfismo se mantenga, considere un arbitrario $gamma_n-1$ en $mathrmHomleft(mathbbZ^n-1, Gright)$. tenemos eso $gamma_n-1left(1,0,...,0right)ast ...astgamma_n-1left(0,0,...,1 derecha)$ puede conmutar de cualquier manera que deseemos para preservar la naturaleza abeliana subyacente de donde se mapea el homomorfismo. Por lo tanto, requerimos que $gamma g = g gamma$. En otras palabras, $g^-1gamma g = gamma$. Tenga en cuenta que así es exactamente como arreglamos los objetos de $mathrmHomleft(mathbbZ^n-1, Gright)$ por la acción de grupo de la conjugación de elementos en $G$.

Por lo tanto, considere la acción de grupo donde $G$ actúa en el set $|mathrmHomleft(mathbbZ^n-1, Gright)|$, con clases de conjugación de homomorfismos. Después,

$$ beginalineado |mathrmHomleft(mathbbZ^n-1times mathbbZ, Gright)| &= sum_g_n-1en G| gamma_n-1en mathrmHomleft(mathbbZ^n-1, Gright ); \ &= sum_g_n-1in G|mathrmFixleft(gright) | endalineado $$

Por lo tanto,

$$ |G|cdot N_n-1 = sum_g_n-1in G|mathrmFixleft(gright)| = |mathrmHomleft(mathbbZ^n, Gright)| $$

Considere el caso donde $n=3$Necesitamos encontrar $N_2$es decir, el número de clases de conjugación de homomorfismos de $mathbbZ^2$ a $G$. afirmo que esto es $N_1veces N_1$. Para argumentar esto vagamente, considere que si algunos $j$ y $k$ están en la misma clase de conjugación de homomorfismos de $mathbbZ$ a $G$ operando como $l$después $izquierda(j,kderecha)$están en la misma clase de conjugación de homomorfismos de $mathbbZ^2$ a $G$ operando con $l$. Ahora que necesitamos contar pares ordenados, ya que en principio $j$ y $k$ podría ser igual, tenemos que contarlo $N_1^2$ veces. Por eso,

(esta parte es muy incompleta y realmente no sé cómo formalizarla)

$|mathrmHomleft(mathbbZ^n, Gright)| = |G|N^n-1$ por inducción

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