Saltar al contenido

Orden de automorfismo grupo de grupo cíclico

Nuestros mejores programadores han agotado sus reservas de café, investigando a tiempo completo por la resolución, hasta que Xavier encontró la contestación en Bitbucket por lo tanto en este momento la compartimos con nosotros.

Solución:

Dado que un automorfismo de $G$ debería mapear un generador de $G$ a un generador de $G$, es suficiente saber cuántos generadores tiene $G$.

Si $G=e,g,g^2,...,g^m-1$ entonces $g^i$ genera G si y solo si $operatornamegcd(i, m)=1$.

$lvert operatornameAut(G)rvert=phi(m)$ donde $phi(m)$ es la función de Euler.

Para una prueba más detallada:

  1. Sean $G=langle grangle$ y $finoperatornameAut(G)$.
  2. Entonces $f(g)=g^i$ para algunos $i$. Si $f$ es un isomorfismo $langle g^irangle =G$ y esto sucede solo si $operatornamegcd(i,m)=1$.
  3. Por otro lado, todo homomorfismo $f:Grightarrow G$ con $f(g)=g^i$ es un isomorfismo cuando $operatornamegcd(i,m)=1$, entonces $lvert operatorname Aut(G)rvert=phi(m)$.

Insinuación:

Para un grupo cíclico dado $G,;textcon;; |G| = m$: $$textAut,(G) cong mathbbZ_m^*tag$;^*:;;$grupo multiplicativo$$

Por lo tanto $text|Aut,(G)| = |mathbbZ_m^*|.$

Dado que un automorfismo de $G$ debe mapear un generador de $G$ a un generador de $G$, es suficiente saber cuántos generadores debe tener $G$.

Entonces $|textAut(G)|=|mathbbZ_m^*| = phi(m)$ donde $phi(m)$ es Función totient de Euler.


(Nota: no necesita que $m = p$, un número primo; basta con saber que $G$ es cíclico y finito).

Te invitamos a añadir valor a nuestra información asistiendo con tu veteranía en las notas.

¡Haz clic para puntuar esta entrada!
(Votos: 0 Promedio: 0)



Utiliza Nuestro Buscador

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada.