Solución:
En realidad, las ondas no son circulares en absoluto. Vea la foto a continuación.
Por ejemplo, un palo largo generará un frente de agua recto desde sus lados y ondas circulares desde sus bordes. Algo parecido a un rectángulo donde los dos lados cortos se reemplazan por semicírculos.
A medida que las olas se extienden, el frente recto conservará su longitud, mientras que los lados circulares crecerán en círculos cada vez más grandes, de ahí la impresión de que en una gran masa de agua las olas terminan siendo circulares, no lo son, pero muy cerca.
La razón por la que un objeto irregular genera ondas “circulares” es, por tanto, esta: a medida que las ondas se propagan, las irregularidades se mantienen pero propagar a través de un frente de onda circular cada vez más grande.
Un muy buen ejemplo de este fenómeno es el Fondo Cósmico de Microondas (CMB), donde se miden las ondas electromagnéticas del Big Bang después de haberse extendido durante 13,7 mil millones de años. Aunque el CMB es muy, muy suave, debido al efecto de “onda circular”, si lo desea, todavía podemos medir pequeñas irregularidades, que creemos que se deben a la “forma irregular” del Big Bang en un momento determinado.
Veo que esta pregunta ya tiene una respuesta aceptada, pero agregaré algunas notas generales para que esté completa.
Comenzamos con la pregunta de cómo una superficie libre, es decir, la interfaz entre dos fluidos, responde a una perturbación de presión (es decir, tensión normal).
Este es el problema de Cauchy-Poisson. Cauchy resolvió este problema, originalmente una cuestión de premio planteada por la Academia Francesa de Ciencias, en 1815 a la edad de 26 años. Poisson, uno de los jueces, agregó a esto en su artículo de 1816, y Cauchy publicó su trabajo en sus memorias de 1827. , con varios cientos de páginas adicionales de notas.
Ahora, consideramos una cuenca de agua infinitamente profunda e infinita con una superficie inactiva en $ z = 0 $, sobre la cual hay aire, que para simplificar asumimos que tiene una presión $ P_ textrm {atm} = 0 $. Suponemos que la única fuerza restauradora aquí es la gravedad, ya que estamos pensando en modelar las características de grano grueso de la respuesta del fluido. Tenga en cuenta que este escenario es diferente a la imagen mostrada por @Sklivvz, en la que están presentes los efectos capilares. Estos efectos son muy interesantes, y al final de este post haré algunos comentarios sobre este fenómeno.
Comenzamos asumiendo que el flujo es irrotacional, lo que significa que existe un potencial de velocidad $ phi $, donde $ nabla phi = textbf {u} $, con $ textbf {u} $ la velocidad del fluido, tal que $ nabla ^ 2 phi = 0 $ en todas partes del agua. Las condiciones en la superficie libre $ z = eta $ son begin {ecuación} eta_t + nabla phi cdot nabla eta = phi_z, tag i end {ecuación} es decir, la condición de frontera cinemática, fluido restrictivo partículas en la superficie para permanecer en la superficie, y begin {ecuación} phi_t + frac {1} {2} ( nabla phi) ^ 2 + gz = 0, tag {ii} end {ecuación}
que es la condición de límite dinámico, asegurando la continuidad de la presión a través de la interfaz.
Finalmente, tenemos la condición de que no haya flujo en la parte inferior, es decir, begin {ecuación} phi_z to 0 quad as quad z to – infty tag {iii} end {ecuación}
Ahora, aunque la ecuación gobernante es lineal (es la ecuación de Laplace), las condiciones de contorno no son lineales y se evalúan en una de las variables que estamos resolviendo, a saber, $ eta $. Entonces, para avanzar, asumimos que las velocidades y las alturas de la superficie son débiles / pequeñas, de modo que podamos linealizar estas ecuaciones y evaluarlas en $ z = 0 $. Las condiciones de contorno se vuelven
begin {ecuación} eta_t = phi_z, etiqueta {i ‘} end {ecuación} y begin {ecuación} phi_t + g eta = 0, etiqueta {ii’} end {ecuación} donde de nuevo , estos se evalúan en $ z = 0 $. Ahora, para una onda particular con número de onda $ k $, la solución a la ecuación de Laplace, con la condición (iii), se puede encontrar asumiendo una separación de variables, lo que implica
begin {ecuación} phi = zeta (x, y, t) e ^ {kz}. end {ecuación}
Esto significa que la ecuación de Laplace se convierte en
begin {ecuación} nabla ^ 2 phi = phi_ {xx} + phi_ {yy} + k phi_z = 0, end {ecuación}
que, la sustitución abierta de $ (i ‘) $ y $ (ii’) $ se convierte en
begin {ecuación} phi_ {tt} – frac {g} {k} nabla ^ 2_H phi = 0, end {ecuación}
donde $ nabla_H equiv partial_ {xx} + partial_ {yy} $ y reconocemos $ frac {g} {k} $ como el cuadrado de la velocidad de la fase de aguas profundas, de modo que lo anterior es una ecuación de onda 2d . Tenga en cuenta que estas ondas son dispersivas, es decir, la velocidad de fase depende inversamente del número de onda. Las ondas largas viajan más rápido que las ondas cortas.
A continuación, asumimos que las soluciones son oscilatorias en el tiempo (que formalmente se puede demostrar que es el caso cuando asumimos que $ zeta $ es separable en el espacio y el tiempo), con frecuencia $ omega (k) = sqrt {gk} $, es decir, $ zeta = psi (x, y) e ^ {- i omega t} $, de modo que nuestra ecuación gobernante se convierte en
begin {ecuación} nabla ^ 2_H psi + k ^ 2 psi = 0, end {ecuación}
que reconocemos como la ecuación de Helmholtz. (El $ k $ en la relación de dispersión $ omega (k) $ para la propagación a lo largo de la superficie es igual a $ k $ en $ e ^ {kz} $ debido a la ecuación de Laplace).
Ahora, comencemos con el caso en el que asumimos que nuestra solución tendrá una simetría circular y construiremos casos más interesantes a partir de ahí. Transformamos nuestra ecuación gobernante en coordenadas polares $ (r, theta) $ para encontrar
begin {ecuación} psi_ {rr} + frac {1} {r} psi_r + k ^ 2 psi = 0. end {ecuación}
Ésta es una ecuación de Bessel con la solución $ psi = J_o (kr) $, donde $ J_o $ es una función de Bessel de orden cero del primer tipo.
Este análisis se realizó para un número de onda $ k $, pero nuestros operadores son todos lineales, por lo que en general la solución será una superposición lineal de estas ondas, es decir
begin {ecuación} eta (r, theta, t) = int_0 ^ { infty} f (k) J_o (kr) e ^ {- i omega (k) t} dk, end {ecuación }
donde $ f (k) $ representan los coeficientes de modo, que están determinados por las condiciones iniciales.
Por ejemplo, si consideramos la respuesta del fluido a una perturbación puntual, tenemos
begin {ecuación} eta (r, theta, 0) = delta (r), end {ecuación}
donde $ delta $ es la función dirac delta. Encontramos $ f (k) $ mediante la transformada de Hankel, que nos dice
begin {ecuación} f (k) = int_0 ^ { infty} delta (r) J_o (kr) dr = 1. end {ecuación}
Por lo tanto, la ecuación gobernante es
begin {ecuación} eta (r, theta, t) = int_0 ^ { infty} J_p (kr) e ^ {- i omega (k) t} dk. end {ecuación}
Estas integrales (relacionadas con las transformadas de Hankel) son notoriamente difíciles de resolver y el progreso generalmente solo se logra en condiciones asintóticas, cuando el método de la fase estacionaria puede ser aplicable. Por ejemplo, bajo el supuesto $ gt ^ 2 / r ll 1 $, encontramos (para más detalles, véase Lamb, 1932, sección 239)
begin {ecuación} eta (r, theta, t) sim frac { sqrt {g} t} {r ^ { frac {5} {2}}} left ( cos gt ^ 2 / 4r – sin gt ^ 2 / 4r right). end {ecuación}
A continuación se muestra una solución de muestra.
Entonces, ¡finalmente hemos desarrollado parte de la maquinaria necesaria para hablar sobre su pregunta! Suponiendo que dejar caer un objeto en el agua genera ondas que son lineales (esto es claramente discutible para ciertos objetos, así como para las escalas de tiempo / longitud que le preocupan, pero es un punto que no abordaré aquí), podemos utilizar la superposición para modelar un objeto como una serie de excitaciones puntuales.
Por ejemplo, ¿qué sucede cuando dejamos caer un palo en el agua? Bueno, si modelamos esto como una superposición de un grupo de fuentes puntuales a lo largo del eje $ y = 0 $, encontramos que la solución se ve así
begin {ecuación} eta (x, y, t) = sqrt {g} t ^ 2 lim_ {N to infty} frac {1} {N} sum_ {n = 1} ^ N frac {1} {((x-x_n) ^ 2 + y ^ 2) ^ { frac {5} {2}}} left ( cos frac {gt ^ 2} {4 sqrt {(x- x_n) ^ 2 + y ^ 2}} – sin frac {gt ^ 2} {4 sqrt {(x-x_n) ^ 2 + y ^ 2}} right), end {ecuación}
donde $ x_n = n / N $, por ejemplo. A nivel local, esta perturbación no producirá anillos simétricos y, de hecho, tendrá regiones que tienen una curvatura mínima. Sin embargo, para $ x gg x_n $, esto claramente tomará la forma de los anillos simétricos dados en el primer ejemplo. A continuación se muestra una muestra de este tipo de perturbación.
Podemos ver aquí que el frente de onda es “más plano” a lo largo del eje y.
Entonces, para concluir, mucho tiene que ver con las escalas sobre las que estás haciendo tu observación. Pero se muestra, al menos cualitativamente, que se pueden formar patrones asimétricos para el forzamiento asimétrico axialmente.
Puede que haya divagado un poco, ¡pero espero que esto ayude!
- Mella
Algunas otras notas:
-Esta es una forma burda de modelar el oleaje, con una tormenta sobre el océano actuando como una perturbación de presión normal. De hecho, se pueden hacer estimaciones asintóticas de la longitud de onda en función de la distancia a la perturbación, que se ha corroborado para el oleaje. Además, la dispersión de las olas en aguas profundas implica, como los surfistas saben empíricamente, que cuando llega un oleaje, las olas de período más largo aparecen primero.
-Si consideramos una perturbación de presión puntual en una corriente en movimiento uniforme, se obtiene el famoso patrón de estela de la nave Kelvin.
- Los efectos capilares son muy interesantes en estos problemas. Sin embargo, la forma de modelar todos los efectos combinados relacionados con la capilaridad no es trivial. Por ejemplo, no se pueden modelar ondas capilares sin incluir la disipación viscosa (estas ondas tienen un número de onda alto y la amortiguación viscosa es de $ k ^ 2 $, por lo tanto, es más importante para estas ondas), así como los efectos de la capa límite, ya que las ondas capilares puede ser una fuerte fuente de vorticidad. Esta vorticidad puede provocar una curvatura del frente de onda y más asimetrías que no son triviales de modelar. Ésta es un área activa de investigación.
Referencias:
Cordero (1932) hidrodinámica
Whitham (1974) Ondas lineales y no lineales
las ondas viajan siempre a una velocidad constante. Para que las ondas en el agua viajen a una velocidad constante, deben ser circulares. Y, por lo tanto, las ondas en el agua son siempre circulares.