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Solución:
Primero, una buena referencia es el libro de Harold Edwards. Teoría de Galois, que hace un esfuerzo por desarrollar la teoría siguiendo directamente el ensayo original de Galois sobre la solubilidad por radicales. Basado en su pregunta, recomendaría absolutamente conseguir este libro.
En segundo lugar, aquí hay una respuesta (necesariamente demasiado breve) a su pregunta. (¡Para obtener una respuesta completa, consulte Edwards!) Las diferencias entre el desarrollo de Galois y el moderno son enormes y se dividen en dos categorías generales:
Diferencias de superficie: cuando Galois hablaba de un objeto que ahora tiene un nombre y una definición estándar. Todavía no tenía el nombre y la definición, pero básicamente está hablando del mismo objeto del que ahora hablamos. Ejemplos:
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La definición abstracta de campo aún no estaba disponible. Sin embargo, Galois escribe cosas como “$ x $ se pueden expresar en una función racional de $ alpha, beta, dots $”, que ahora escribiríamos como $ x in mathbb Q ( alpha, beta, puntos) $.
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En relación con esto, Galois introdujo el término “contiguo” para significar lo que ahora reconocemos como la creación de una extensión de campo. La forma de Galois de hablar sobre este proceso fue elaborar y alterar un poco el significado de la palabra “racional”. Galois explicó que “racional” en su trabajo significaría una cantidad expresable en términos de números racionales (ordinarios), los coeficientes de una ecuación dada y “cualquier otra cantidad que hayamos unido (a la ecuación)”.
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Galois introdujo la palabra “grupo” para referirse a grupos de permutaciones de raíces de una ecuación. Ahora reconocemos estos grupos como grupos de campos de automorfismo; por supuesto, Galois no los veía de esa manera. Para él eran un subconjunto específico del conjunto de permutaciones de las raíces, que tenían la propiedad de que dejaban fijos los valores de todas y sólo aquellas expresiones racionales en las raíces cuyos valores eran racionalmente expresables en términos de un conjunto dado de “contiguos”. “números. Creó una construcción explícita que demostró producía este conjunto de permutaciones. Por supuesto, la definición abstracta de un grupo no estaba a la vista: Galois siempre y solo estaba hablando de grupos específicos de permutaciones con la propiedad anterior.
Diferencias profundas: cuando la lógica de Galois era sustancialmente diferente de los desarrollos actuales. Ejemplo:
- Para Galois, el lema básico utilizado para probar todos los resultados centrales es lo que ahora llamamos el Teorema fundamental de polinomios simétricos. Esto no fue visto como un teorema con nombre en la época de Galois, pero fue tratado como un hecho bien conocido por todos los matemáticos de la época. Toda la teoría de Galois desarrollada por el propio Galois parte del hecho de que si una expresión racional dada en las raíces de un polinomio es simétrica en estas raíces, entonces se puede expresar como una expresión racional en los coeficientes del polinomio. En los tratamientos modernos (por ejemplo, el de Nathan Jacobson Álgebra básica I), el papel desempeñado por este lema se elimina por completo y se reemplaza por la teoría elemental de los espacios vectoriales y la dimensión como motor de la teoría. El teorema de las funciones racionales simétricas cae al final como una consecuencia menor.
En realidad, Galois descubrió la existencia de un único attribute de cualquier ecuación polinomial en una incógnita: el grupo de Galois de la ecuación polinomial. Este grupo que desarrolló tiene la propiedad ÚNICA de que cualquier función racional (en las raíces de la ecuación original) que se valora racionalmente, es decir, es igual a un número racional, permanece inalterada por las raíces que se permutan en la expresión racional por cualquier permutación que es miembro de este grupo de Galois. El grupo Galois también tiene otras propiedades. Estas propiedades del grupo de Galois de hecho dependen del Teorema fundamental de polinomios simétricos. De hecho, el esquema de solución de Lagrange y Galois fue sugerido por el uso de este teorema. Todo el desarrollo de Galois depende de este grupo de Galois. Propone, al igual que Lagrange, un esquema de solución POSIBLE para una ecuación polinomial, si el grupo de Galois se descompone en una serie de subgrupos anidados. Por supuesto, esta descomposición no siempre es posible. PERO . . . Galois demostró que si las raíces van a ser radicales, entonces el grupo de Galois se descompondrá en una serie solucionable como la que se describe en los libros convencionales sobre teoría de grupos o en la teoría moderna de Galois. Galois también demostró que si el grupo de Galois de un polinomio se descompusiera en una serie resoluble, las raíces se verían obligadas a ser radicales. Sin embargo, el principal logro de Galois parece ser el descubrimiento de este grupo de Galois. Como puede ver, esta propiedad de cualquier expresión racional de las raíces que se valora racionalmente al no modificarse por una permutación del grupo de Galois nos conduce naturalmente al descubrimiento del automorfismo, una de cuyas propiedades es que deja inalterados los números racionales. Esta fue la clave para el desarrollo de la teoría moderna de Galois.
Quizás le interese el libro de Peter Neumann Los escritos matemáticos de Évariste Galois, que tiene traducciones al inglés de la obra de Galois. El libro se destaca por su integridad y atención al detalle. Neumann tradujo todos los escritos que tenemos de Galois, incluidos trozos de papel y escritos incompletos. Sus traducciones incluyen frases que Galois tachó, ¡e incluso lleva un registro de la cantidad de líneas que Galois usó cuando tachó una frase!
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