Por fin después de mucho batallar pudimos encontrar la contestación de esta incógnita que ciertos de nuestros lectores de nuestro espacio han presentado. Si deseas compartir algún detalle no dudes en dejar tu conocimiento.
Solución:
Este problema es equivalente a encontrar el número de soluciones enteras de $a+b+c+d+e=10$.
Si imagina sus $10$ como una línea de $10$ estrellas, entonces puede insertar $4$ signos “+” entre las estrellas para obtener una solución, por ejemplo $+estrellaestrella+estrellaestrellaestrellaestrella+estrella+ starstarstar$ representan la solución $0+2+4+1+3$.
Dado que cada permutación de estrellas y signos “+” representa una solución, el número total de soluciones viene dado por las posibles permutaciones de estos símbolos de $14$, es decir, $frac14!10!4!$. El mismo método, que generalmente se llama estrellas y barras, se puede usar para problemas similares con otros números involucrados.
Editar: en el caso de números de $3$ que suman $10$ de estrellas y barras da $frac12!10!2!=66$ como respuesta, tienes $63$ porque no contaste los $3$ trillizos con $2$ ceros y un diez, ¿era eso lo que se pretendía?
La respuesta de Alessandro Codenotti sobre 66 y tres $(0,0,10), (0,10,0), (10,0,0)$ adicionales es correcta. En general, sea $n$ un entero positivo para particionar, $k$ es el número de partes no negativas (se incluyen los ceros), el orden de las partes importa. Entonces, el número total de descomposiciones es el coeficiente binomial $C(n+k-1,k-1)=frac(n+k-1)!(k-1)!n!$.
Este resultado es bien conocido. Para $n=10$, $k=3$, $C(10+3-1,3-1)=frac12!2!10!=frac11cdot 122 =66$. Para $n=10$, $k=5$, $C(10+5-1,5-1)=frac14!4!10!=frac11 cdot 12 cdot 13 cdot 142 cdot 3 cdot 4=77 cdot 13=1001$. En ambos casos, uno decide si se debe restar $k$ del resultado para eliminar las descomposiciones de $k$, donde $n$ mismo está en una de las posiciones de $k$ y acompañado de $k – 1$ ceros.
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