Recuerda que en las ciencias un problema casi siempere puede tener diferentes resoluciones, pero mostramos lo más óptimo y mejor.
Solución:
El teorema de Hodge (El espacio de formas $p$ armónicas en una variedad riemanniana cerrada $M$ es isomorfo a $H^p(M;R)$) es un teorema de PDE. Véase, por ejemplo, el libro de Warner. Sin embargo, tu comentario de “peinar el cabello” está un poco fuera de lugar. Tampoco se puede peinar el cabello en una superficie de género g cuando g> 1, pero el espacio de formas armónicas 1 tiene una dimensión de 2 g. Las formas p armónicas pueden tener ceros cuando p>0.
Solo para agregar algunos detalles a la respuesta de Paul:
De hecho, es correcto que el $k$-ésimo número de Betti de una variedad riemanniana compacta $M$ sin límite es igual a la dimensión del espacio de las formas armónicas $k$. Este es el teorema del isomorfismo de Hodge. Una buena prueba de esto se puede encontrar en el libro de Demailly (disponible gratis aquí) al comienzo del capítulo 6.
Básicamente, lo que sucede es esto: usamos una métrica de Riemann para definir un producto interno en el espacio $E^k := C^infty(M, bigwedge^k T_M^*)$ de formas suaves de $k$ en $ M$. La métrica de Riemann también nos da el laplaciano $Delta$, que resulta ser un operador diferencial elíptico en $E^k$. Así obtenemos una descomposición de suma directa ortogonal
$$C^infty(M, bigwedge^k T_M^*) = mathcal H^k(M) oplus Im Delta = mathcal H^k(M) oplus Im d oplus Im d^ *$$
donde $mathcal H^k(M) := Ker Delta$ es el espacio de formas $k$ armónicas en $M$, y $d^*$ es el adjunto formal de la derivada exterior $d$ . El subespacio de las formas cerradas en $d$ de $E^k$ es exactamente $mathcal H^k(M) oplus Im d$, y así obtenemos un isomorfismo entre $mathcal H^k(M)$ y el $k$-ésimo grupo de cohomología de De Rham $H^k(M,mathbbR)$, cuya dimensión es igual al $k$-ésimo número de Betti de $M$.
Hablando moralmente, este isomorfismo es interesante porque proporciona un vínculo entre las estructuras topológica y geométrica de la variedad. Los números de Betti solo dependen de la topología de $M$, mientras que el espacio de formas armónicas está definido por una métrica de Riemann. Con este teorema podemos interpretar el $k$-ésimo número de Betti como un conteo del número de formas $k$ armónicas linealmente independientes en la variedad original. En particular, como usted dice, si un $k$-ésimo número Betti es cero, entonces la única forma armónica de $k$ en $M$ es la forma cero.
Si entendí bien tu pregunta, es: ¿cómo puedo calcular la dimensión del espacio de las formas armónicas? Hay una clase de variedades de Riemann donde es posible escribir las formas armónicas de forma explícita, sin topología. Estos son los espacios simétricos (por ejemplo, esferas, espacios proyectivos, grupos de Lie compactos, toros, variedades de Grassmann, variedades de bandera). El espacio de formas armónicas en el espacio simétrico $M=G/H$ es el mismo que el de las formas invariantes, que es $Lambda^* (mathfrakg/mathfrakh)^G$. Y puedes calcular esto algebraicamente. Supongo que cada cálculo explícito de formas armónicas, incluido su ejemplo en $ S ^ 2 $, se basa en ese principio (tal vez para superficies de Riemann y espacios homogéneos no simétricos hay excepciones a esta regla). Como señaló Gunnar, la dimensión del espacio de formas armónicas en $M$ no depende de la métrica. Entonces puede concluir que no hay forma armónica 1 en $ S ^ 2 $, en ninguna métrica salvaje. Por supuesto, la mayoría de las variedades no llevan una métrica simétrica. Aquí, si desea calcular la dimensión del espacio de las formas armónicas, podría ser más fácil calcular primero la cohomología y luego recurrir al teorema de Hodge.
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