Investigamos por todo el mundo on line para tenerte la respuesta a tu inquietud, en caso de dificultades puedes dejarnos tu duda y contestaremos sin falta.
Solución:
La respuesta a esta pregunta (muy natural) depende de su noción de “árbol” (p. ej., libre, enraizado) y la relación de equivalencia que emplee (p. ej., etiquetado, no etiquetado). No he entrado en los detalles esenciales de todos estos resultados, pero esto es lo que he encontrado hasta ahora. Es probable que haya resultados publicados que aún no he encontrado, pero espero que esto te ayude a comenzar.
Podemos calcular $T_m,n$, el número de árboles libres no isomorfos con $m$ hojas y $n$ vértices, para $m$ pequeños y $m$ grandes. Por ejemplo, (a) $T_3,n$ es el número de particiones de $n-1$ en $3$ partes enteras positivas (A001399 de Sloane), (b) $T_n-2,n= lpiso (n-2)/2 rpiso$ y (c) $T_n-3,n=sum_j=0^n-5 lpiso (n-3-j)/2 rpiso$. El primer resultado se puede observar eliminando el vértice de grado 3 y los dos últimos se pueden observar coloreando cada vértice que no sea hoja por el número de hojas adyacentes y luego eliminando las hojas.
Yu (8) parece haber dado un algoritmo para generar árboles enraizados con $m$ hojas. Wang (6) y Liu (3,4) consideraron el número de árboles “estructuralmente diferentes” con $m$ hojas (según MathSciNet). Bergeron, Labelle y Leroux (1) consideran el número esperado de hojas en árboles que admiten cierto automorfismo. Lam (2) analiza incrustaciones de árboles con $m$ hojas y analiza árboles con $(d+1)d^r+1$ hojas para números enteros d y r.
Wilf (7. p. 163) dio una función generadora para $sum_k T_k,n^textlab$ donde $T_k,n^textlab$ es el número de árboles libres etiquetados con $m$ hojas y $n$ vértices. También da una fórmula para el número promedio de hojas en un árbol etiquetado con $n$ vértices.
También está esto: K. Yamanaka, Y. Otachi, S.-I. Enumeración eficiente de Nakano de árboles ordenados con hojas k, que aún no he visto.
(1) F. Bergeron, G. Labelle y P. Leroux, Cálculo del número esperado de hojas en un árbol que tiene un automorfismo dado y temas relacionados, Discrete Appl. Math., 34 (1991), págs. 49-66.
(2) PCB Lam, Sobre el número de hojas y ancho de banda de los árboles, Acta Math. aplicación Sínica (ser. en inglés), 14 (1998), págs. 193-196.
(3) BL Liu, La enumeración de árboles dirigidos con un número dado de hojas y la enumeración de árboles libres, Kexue Tongbao, 32 (1987), pp. 244-247. En chino.
(4) BL Liu, Enumeración de árboles orientados y árboles libres con un número dado de hojas, Kexue Tongbao (edición en inglés), 33 (1988), pp. 1577-1581.
(5) QQ Nong, La secuencia de grados y el número de hojas en un árbol, J. Yunnan Univ. Nat. Sci., 24 (2002), págs. 167-171. En chino.
(6) ZY Wang, Un problema de enumeración en árboles ordenados, J. Math. (Wuhan), 6 (1986), págs. 201-208.
(7) HC Wilf, Generatingfunctionology, Academic Press, 1990.
(8) QL Yu, un algoritmo para generar lexicográficamente árboles enraizados ordenados con restricciones en el número de hojas, chino J. Oper. Res., 6 (1987), págs. 71-72
Creo que esto es lo que quieres:
OEIS: el triángulo de árboles con n nudos y k hojas
(Debe dibujar la secuencia como un triángulo como se muestra a continuación para obtener la información bidimensional).
1
1 0
1 1 0
1 1 1 0
1 2 2 1 0
1 3 4 2 1 0
1 4 8 6 3 1 0
1 5 14 14 9 3 1 0
1 7 23 32 26 12 4 1 0
1 8 36 64 66 39 16 4 1 0
1 10 54 123 158 119 60 20 5 1 0
1 12 78 219 350 325 202 83 25 5 1 0
Editar: edité para usar una representación diferente de los datos. Supongo que la n-ésima fila, k-ésima entrada significa el número de árboles con n nodos y k hojas. Ver estas otras pantallas
El número de árboles etiquetados en $n$ vértices con $m$ hojas es $$binomnmS(n-2,nm)(nm)!$$ donde $S(a,b)$ es el número de Stirling de segunda clase. Esto se puede ver analizando la generación multivariante que cuenta árboles de cualquier secuencia de grados que se proporciona aquí: https://math.berkeley.edu/~mhaiman/math172-spring10/matrixtree.pdf
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