[*]Anduvimos buscado por el mundo on line para así regalarte la solución para tu inquietud, si continúas con alguna inquietud deja tu comentario y te responderemos con gusto.
Solución:
[*]Permítanme trabajar un poco en la notación matemática y luego volver a la notación de Dirac.
[*]Suponga que comienza con un espacio de Hilbert $ mathscr H $, que puede entender como un espacio de funciones desde algún espacio de coordenadas $ S $ en $ mathbb C $, es decir, si $ f in mathscr H $ entonces $ f: R a mathbb C $, y que tiene una noción adecuada de producto interno $ (·, ·): mathscr H times mathscr H to mathbb C $, como por ejemplo, una integral sobre $ R $. (Tenga en cuenta que aquí $ (·, ·) $ debería ser lineal en el segundo argumento).
[*]Dada esta estructura, para cada vector $ f in mathscr H $ puede definir un funcional lineal $ varphi_f: mathscr H to mathbb C $, es decir, una función que toma elementos $ g in mathscr H $ y les asigna números complejos $ varphi_f (g) in mathbb C $, cuya acción viene dada específicamente por $ varphi_f (g) = (f, g) $. Como tal, $ varphi_f $ vive en $ mathscr H ^ * $, el doble de $ mathscr H $, que es el conjunto de todos los funcionales lineales (acotados y / o continuos) desde $ mathscr H $ a $ mathbb C $.
[*]Hay muchas otras funciones interesantes alrededor. Por ejemplo, si $ mathscr H $ es un espacio de funciones $ f: R to mathbb C $, entonces otra de estas funciones es una evaluación en un punto dado $ x en R $: es decir, el mapa $ chi_x: mathscr H to mathbb C $ dado por $$ chi_x (g) = g (x). $$ En general, este mapa no está delimitado ni es continuo (con la topología de $ mathscr H $), pero puedes ignorar eso por ahora; la mayoría de los físicos lo hacen.
[*]Por lo tanto, tiene este gran y espacioso espacio de funciones $ mathscr H ^ * $, y tiene esta incrustación de $ mathscr H $ en $ mathscr H ^ * $ dada por $ varphi $. Sin embargo, en general, $ varphi $ puede o no cubrir la totalidad de $ mathscr H ^ * $.
[*]La correspondencia de esto en la notación de Dirac es la siguiente:
- [*]$ f $ se denota $ | f rangle $ y se llama ket.
- [*]$ varphi_f $ se denota $ langle f | $ y se llama sostén.
- [*]$ chi_x $ se denota $ langle x | $, y también se llama sostén.
[*]Al juntarlos, comienzas a obtener algunas de las cosas que querías:
[*]2. $ langle x | f rangle $ es $ chi_x (f) = f (x) $, es decir, solo la función de onda.
[*]6. $ langle f | g rangle $ es $ varphi_f (g) = (f, g) $, es decir, el producto interior de $ f $ y $ g $ en $ mathscr H $, como debería ser.
[*]Tenga en cuenta, en particular, que estos solo se derivan de la yuxtaposición de las interpretaciones correspondientes de los sujetadores y kets relevantes.
[*]7. Sorprendentemente, $ langle f | x rangle $ es realmente definido: solo se evalúa como $ f (x) ^ * $. Esto se debe esencialmente a que, en los cerebros de los físicos,
[*]9. $ | x rangle $ está realmente definido. Normalmente se entiende como “una función que está infinitamente localizada en $ x $”, lo que, por supuesto, requiere que un físico le dé sentido (o más exactamente, que descarte el hecho de que no tiene sentido). Esto se relaciona con
[*]8.' $ langle x ‘| x rangle $, el soporte entre diferente posiciones $ x, x ‘ en R $, que se evalúa como $ delta (x-x’) $. Por supuesto, esto significa que
[*]8. $ langle x | x rangle $, con ambas posiciones iguales, no está realmente definido.
[*]Si esto parece que a los físicos no les importa el rigor de ninguna manera, es porque principalmente lo es. Debo enfatizar, sin embargo, que es Es posible dar una base rigurosa a estos estados, a través de un formalismo conocido como espacios de Hilbert manipulados, donde esencialmente se divide $ mathscr H $ y $ mathscr H ^ * $ en diferentes “capas”. Sin embargo, a fin de cuentas, esto requiere más análisis funcional del que la mayoría de los físicos realmente aprenden, y no es necesario para operar con éxito en estos objetos.
[*]Habiendo hecho eso, ahora llegamos a algunos de los lugares por los que has recorrido caminos muy extraños:
[*]3. $ langle x | O rangle $ no significa nada. Tampoco lo hace “operador sobre un valor propio de $ O $ que produce la función propia correspondiente bajo una base de posición”.
[*]4. $ | O rangle $ no es una cosa. usted Nunca poner operadores dentro de un Ket (y ciertamente no por su cuenta).
[*]Los operadores siempre actúan en el exterior del recipiente. Entonces, digamos que tiene un operador $ O: mathscr H to mathscr H $, que en la notación matemática tomaría un vector $ f in mathscr H $ y le daría otro $ O (f) in mathscr H PS En la notación de Dirac, tiende a poner un sombrero en $ hat O $, y usa $ hat O | f rangle $ para significar $ O (f) $.
[*]En particular, esto se usa para la notación más fundamental:
- $ langle f | hat O | g rangle $, que un matemático denotaría $ varphi_f (O (g)) = (f, O (g)) $, o alternativamente (una vez que hayas definido el conjugado hermitiano $ O ^ * $ de $ O $) $ varphi_ O ^ * (f) (g) = (O ^ * (f), g) $.
[*]Esto incluye como caso especial
[*]5. $ langle f | G ( hat x) | f rangle $. Esto a veces se abrevia como $ langle G ( hat x) rangle $, pero esa es una buena receta para la confusión. En este caso, $ G: R to mathbb C $ es generalmente una función, pero $ G ( hat x) $ es un objeto completamente diferente: es un operador, por ejemplo, $ G ( hat x) | f rangle $ vive en $ mathscr H $, y su acción es tal que este vector tiene la función de onda $$ langle x | G ( hat x) | f rangle = G (x) f (x). $$ El elemento de matriz general $ langle g | G ( hat x) | f rangle $ se toma entonces como el producto interno de $ | g rangle $ con este vector, es decir, $ int_R g (x) ^ * G (x) f (x) mathrm dx $, y de manera similar en el caso especial $ g = f $.
[*]Finalmente, esto nos lleva a sus dos últimas preguntas:
[*]10. La afirmación de que “la parte del sujetador del sujetador es siempre una variable ficticia” es falsa. Como has visto, $ langle f | $ está perfectamente bien definido. (Además, $ x $ y $ p $ tampoco son variables “ficticias”, nuevamente, como ha visto anteriormente).
[*]11. De manera similar, la afirmación de que “la porción de KET es siempre una función / operador” también es falsa. Nunca pones operadores dentro de un Ket (los pones a la izquierda), y generalmente está bien poner $ x $ allí (aunque, nuevamente, esto requiere más trabajo para atornillar las cosas o la voluntad de agitar manualmente alejar los problemas).
[*]Espero que esto sea suficiente para solucionar los problemas en su comprensión y hacer que use la notación de Dirac correctamente. Se necesita un tiempo para comprender, pero una vez que lo haces, es muy útil. De manera similar, hay muchos problemas en términos de cómo formalizamos cosas como posiciones kets como $ | x rangle $, pero todas son superables y, lo más importante, tienen mucho más sentido una vez que has estado usando la notación de Dirac correctamente y cómodamente por un tiempo.
[*]Una breve mirada a la mecánica cuántica a través de la notación bra-ket de Dirac [*]
[*]1- En mecánica cuántica un estado fisico está representado por un vector de estado en un espacio vectorial complejo. La dimensión del espacio vectorial viene especificada por la naturaleza del sistema físico considerado.
[*]2- Un vector de estado se denota por un Ket, $ | alpha rangle $, que contiene completo información sobre el estado físico.
[*]3- Se pueden agregar dos kets para producir un nuevo Ket y un Ket se puede multiplicar por un número complejo. $$ | alpha rangle + | beta rangle = | gamma rangle $$ $$ c | alpha rangle = | alpha rangle c $$ Los kets $ | alpha rangle $ y $ c | alpha rangle $ ($ c neq0 $) representan el mismo estado físico.
[*]4- An observable se denota por un operador, $ hat A $.
[*]5- Un operador actúa sobre un Ket desde el lado izquierdo, $ hat A | alpha rangle $.
[*]6- En general, $ hat A | alpha rangle $ no es una constante de $ | alpha rangle $ pero hay kets particulares, eigenkets de $ hat A $, digamos $ | a ‘ rangle $, $ | a’ ‘ rangle $, $ | a’ ” rangle, … $ que tienen la propiedad
[*]$$ hat A | a ‘ rangle = lambda _ a’ | a ‘ rangle, hat A | a’ ‘ rangle = lambda _ a ” | a ” rangle, hat A | a ” ‘ rangle = lambda _ a’ ” | a ” ‘ rangle, .. . $$ donde $ lambda _ a ‘ $, $ lambda _ a’ ‘ $, $ lambda _ a’ ” $ son solo números y se llaman valores propios. El conjunto completo de valores propios denotado por $ left lambda _ a ‘ right $.
[*]7- Un estado físico correspondiente a un eigenket se llama eigenstate.
[*]8- Digamos que estamos interesados en un espacio vectorial N-dimensional abarcado por N mercados propios de un $ hat A $ observable, entonces cualquier $ | alpha rangle $ puede escribirse como $$ | alpha rangle = sum _ a ‘ c _ a’ | a ‘ rangle $$ donde la suma es sobre todos los mercados propios de $ hat A $ y $ c _ a’ $ son números complejos (se puede demostrar la unicidad de tal expansión). Aquí $ sum $ indica estados contables (discretos), finitos o infinitos. Para estados no contables (continuos), $ sum $ se reemplaza por $ int $ (ver 30).
[*]9- Existe un doble espacio de espacio de ket, que se llama el sostén espacio, y por cada ket $ | alpha rangle $ existe un sostén, denotado por $ langle alpha | $. El espacio del sujetador está atravesado por eigenbras $ left langle a ‘ $ que corresponden a los mercados propios $ left a’ rangle right $.
[*]10- Existe una correspondencia de uno a uno (correspondencia dual, DC) entre un espacio de Ket y un espacio de sujetador y, hablando en términos generales, el espacio de sujetador puede considerarse como una especie de imagen especular del espacio de Ket. $$ | alpha rangle overset DC leftrightarrow langle alpha | $$ $$ | alpha rangle + | beta rangle overset DC leftrightarrow langle alpha | + langle beta | $$ $$ c | alpha rangle overset DC leftrightarrow c ^ * langle alpha | $$ donde $ c ^ * $ es complejo conjugado de $ c $.
[*]11- El producto Interno de un sujetador $ langle beta | $ y un ket $ | alpha rangle $ es en general un número complejo y se escribe $ langle beta | alpha rangle $.
[*]12- Dos propiedades fundamentales del producto interno son $$ langle beta | alpha rangle = langle alpha | beta rangle ^ * $$ $$ langle alpha | alpha rangle geq 0 textrm (métrica definida positiva) $$
[*]13- Se dice que dos kets $ | alpha rangle $ y $ | beta rangle $ ortogonal si $$ langle alpha | beta rangle = 0 $$
[*]14- Un ket $ | alpha rangle $ (que no sea un ket nulo) se puede normalizar $$ | tilde alpha rangle = frac 1 sqrt langle alpha | alpha rangle $$ con propiedad $$ langle tilde alpha | tilde alpha rangle = 1 $$ donde $ sqrt langle alpha $ se llama norma de $ | alpha rangle $.
[*]15- Consideremos tres operadores $ hat X $, $ hat Y $ y $ hat Z $ (que no necesariamente representan observables). $ hat X $ se dice que es el operador nulo si se dice que $$ hat X | alpha rangle = 0 $$ y $ hat X $ y $ hat Y $ son iguales si $$ hat X | alpha rangle = hat Y | alpha rangle $$
[*]16- Se pueden agregar operadores, y la suma es conmutativa y asociativa $$ hat X + hat Y = hat Y + hat X $$ $$ hat X + ( sombrero Y + sombrero Z) = ( sombrero X + sombrero Y) + sombrero Z. $$
[*]17- Los operadores son lineales $$ hat X (c _ alpha | alpha rangle + c _ beta | beta rangle) = c _ alpha hat X | alpha rangle + c _ beta hat X | beta rangle $$
[*]18- Un operador actúa sobre un sostén del lado derecho, $ langle alpha | hat X $.
[*]19- Existe la correspondencia dual $$ hat X | alpha rangle overset DC leftrightarrow langle alpha | hat X ^ dagger $$ donde $ hat X ^ dagger $ es Conjugado hermitiano de $ hat X $.
[*]20- Los operadores se pueden multiplicar y la multiplicación no es conmutativa sino asociativa. $$ XY neq YX $$ $$ X (YX) = (XY) Z = XYZ $$ Se puede demostrar que $$ left (XY right) ^ dagger = Y ^ dagger X ^ dagger $$
[*]21- Un ket $ | alpha rangle $ y un sujetador $ langle beta | $ pueden formar un operador a través de un producto exterior $ | alpha rangle langle beta | $.
[*]22- Los siguientes son productos ilegales, $ hat X langle alpha | $, $ | alpha rangle hat X $, $ | alpha rangle | beta rangle $, $ langle alpha | langle beta | $ (asumiendo que $ | alpha rangle $ y $ beta rangle $ están en el mismo espacio).
[*]23- La expresión $ | beta rangle langle alpha | gamma rangle $ se puede interpretar de dos formas diferentes: primero, el operador $ | beta rangle langle alpha | $ actuando sobre ket $ | gamma rangle $; segundo, el número $ langle alpha | gamma rangle $ multiplicando el ket $ | beta rangle $. Según la primera interpretación, el operador $ | beta rangle langle alpha | $ rota el ket $ | gamma rangle $ en la dirección de $ | beta rangle $.
[*]24- Tres igualdad importantes a tener en cuenta son: $$ langle beta | alpha rangle = langle alpha | beta rangle ^ * textrm (ver 12) $$ $$ left (| beta rangle langle alpha | right) ^ dagger = | alpha rangle langle beta | $$ $$ langle alpha | hat X | beta rangle = langle beta | hat X ^ dagger | alpha rangle ^ * $$
[*]25- En la mecánica cuántica, los operadores hermitianos ($ hat A = hat A ^ dagger $) a menudo resultan ser operadores que representan algunos observables físicos. Se puede demostrar que un operador hermitiano, $ hat A $, tiene valores propios reales y mercados propios ortogonales (o convencionalmente ortonormales). Eso es para $$ hat A | a ‘ rangle = lambda _ a’ | a ‘ rangle $$ tenemos $$ lambda _ a’ = lambda_ a ‘ ^ * textrm y langle a’ ‘| a’ rangle = delta _ a ” a ‘ $$ donde $ delta $ es el delta de Kronecker.
[*]26- Hemos demostrado que (ver 8) un ket $ | alpha rangle $ arbitrario, en el espacio generado por los mercados propios de $ hat A $, se puede expandir como $$ | alpha rangle = sum _ a ‘ c _ a’ | a ‘ rangle $$ multiplicando ambos lados de la ecuación con $ langle a’ ‘| $ del lado izquierdo y usando la ortonormalidad tenemos $$ c _ a ‘ = langle a’ | alpha rangle $$ que es equivalente a $$ | alpha rangle = sum _ a ‘ | a’ rangle langle a ‘| alpha rangle $$ Como $ | alpha rangle $ es un ket arbitrario, debemos tener $$ sum _ a’ | a ‘ rangle langle a ‘| = mathbb I $$ donde $ mathbb I $ representa el operador de identidad. Esto se conoce como relación de completitud o cercanía y se llama al operador $$ Lambda _ a ‘ = | a’ rangle langle a ‘| $$ proyección operador.
[*]27- En mecánica cuántica un medición siempre hace que el sistema salte a uno de los estados propios del observable físico que se está midiendo.
[*]Digamos que el sistema está en un estado $ | alpha rangle $ antes de la medición y queremos medir el $ hat A $ observable. Después de la medición, el sistema se lanza a uno de los $ left a ‘ rangle right $, digamos $ | a’ rangle $, es decir, $$ | alpha rangle xrightarrow medición | a ‘ rangle $$ En otras palabras, la medición generalmente cambia el estado. La única excepción es cuando el estado ya está en uno de los estados propios, entonces tenemos $$ | a ‘ rangle xrightarrow medición | a’ rangle $$ Cuando la medición causa $ | alpha rangle $ para cambiar a $ | a ‘ rangle $ se dice que $ hat A $ se mide como $ lambda _ a’ $, es decir, la medición produce uno de los valores propios de lo observable.
[*]28- No sabemos de antemano en cuál de los $ left $ se lanzará el sistema como resultado de la medición, pero es postulado que el probabilidad para saltar a un estado propio particular $ | a ‘ rangle $ viene dado por $ left | langle a ‘| alpha rangle right | ^ 2 $.
[*]29- El valor esperado de un $ hat A $ observable para un estado $ | alpha rangle $ se define como $$ langle A rangle equiv langle alpha | hat A | alpha rangle $$ que es equivalente a $$ langle A rangle = sum _ a ‘ sum _ a’ ‘ langle alpha | a’ ‘ rangle langle a’ ‘| hat A | a ‘ rangle langle a’ | alpha rangle $$ y está de acuerdo con la intuición del valor medido promedio $$ langle A rangle = sum _ a ‘ lambda_ a ‘ left | langle a ‘| alpha rangle right | ^ 2 $$ es decir, la suma de todos los valores medidos $ lambda _ a’ $, $ lambda _ a ”, … $ multiplicado por las probabilidades correspondientes de medir el valor particular, $ left | langle a ‘| alpha rangle right | ^ 2 $, $ left | langle a ” | alpha rangle right | ^ 2, … $
[*]30- Como se mencionó anteriormente (ver 8), la notación presentada hasta ahora fue para espacios vectoriales con dimensiones discretas (contables). En el caso de espacios vectoriales con dimensión continua (incontable), la notación cambia ligeramente.
[*]Deje que $ hat eta $ represente un observable con mercados propios continuos $ | eta rangle $, luego las definiciones anteriores cambian a $$ begin matrix discreto & & continuo \ hat A | a ‘ rangle = lambda _ a’ | a ‘ rangle & rightarrow & hat eta | eta’ rangle = lambda _ eta ‘ | eta ‘ rangle \ langle a’ | a ” rangle = delta _ a ‘a’ ‘ & rightarrow & langle eta’ | eta ” rangle = delta left ( eta ‘- eta’ right) \ sum _ a ‘ | a’ rangle langle a ‘| = mathbb I & rightarrow & int mathrm d eta ‘| eta’ rangle langle eta ‘| = mathbb I \ | alpha rangle = sum _ a ‘ | a’ rangle langle a ‘| alpha rangle & rightarrow & | alpha rangle = int mathrm d eta’ | eta ‘ rangle langle eta’ | alpha rangle \ end matriz $$ donde $ delta left ( eta ‘- eta’ right) $ es de Dirac función delta.
[*]31- La posición, como observable, es un buen ejemplo de un espacio vectorial con dimensión continua. Sea $ hat X $ el operador de posición en una dimensión y luego $$ hat X | x ‘ rangle = lambda _ x’ | x ‘ rangle $$ y para cualquier estado aleatorio $ | alpha rangle $ tenemos $$ | alpha rangle = int mathrm d x ‘| x’ rangle langle x ‘| alpha rangle $ $ Similar al caso discreto (ver 28) $$ left | langle x ‘| alpha rangle right | ^ 2 mathrm d x’ $$ es postulado ser la probabilidad de encontrar la partícula en un intervalo pequeño $ mathrm d x ‘$ alrededor del punto $ x’ $.
[*]32- El término $ langle x ‘| alpha rangle $ es el función de onda en el espacio de posición y representado como $$ psi _ alpha left (x ‘ right) = langle x’ | alpha rangle $$ Usando la definición de función de onda, el producto interno $ langle beta | alpha rangle $ se puede escribir como $$ begin align * langle beta | alpha rangle & = int mathrm d x ‘ langle beta | x’ rangle langle x ‘| alpha rangle \ & = int mathrm d x’ psi _ beta ^ * left (x ‘ right) psi _ alpha left (x ‘ right) end align * $$
[*][*] Adoptado del libro Modern Quantum Mechanics (Edición revisada) de JJ Sakurai, p 10-60.
Puntuaciones y comentarios
[*]Si conservas algún recelo o capacidad de enriquecer nuestro enunciado eres capaz de ejecutar una interpretación y con placer lo ojearemos.