Solución:
Dada una matriz simétrica, tiene un conjunto completo de autovalores y autovectores ortogonales. Cualquier vector se puede representar como una combinación lineal de autovectores. Multiplique su matriz por un vector unitario arbitrario descompuesto en los vectores propios. Luego observe que la longitud máxima del vector resultante se logra cuando el vector de entrada está a lo largo del vector propio asociado con el valor propio más grande.
Aquí hay una explicación simple no necesariamente del álgebra lineal. Tenemos
$$ | A | _2 = max _ { | x | = 1} | Ax | $$
donde $ | cdot | $ es una norma euclidiana simple. Este es un problema de optimización restringido con la función de Lagrange:
$$ L (x, lambda) = | Ax | ^ 2- lambda ( | x | ^ 2-1) = x’A ^ 2x- lambda (x’x-1) $$
aquí tomé cuadrados que no cambian nada, pero que facilitan el siguiente paso. Tomando la derivada con respecto a $ x $ y equiparándola a cero obtenemos
$$ A ^ 2x- lambda x = 0 $$
la solución para este problema es el vector propio de $ A ^ 2 $. Dado que $ A ^ 2 $ es simétrico, todos sus valores propios son reales. Entonces $ x’A ^ 2x $ alcanzará el máximo en el conjunto $ | x | ^ 2 = 1 $ con un valor propio máximo de $ A ^ 2 $. Ahora, dado que $ A $ es simétrico, admite representación
$$ A = Q Lambda Q ‘$$
con $ Q $ la matriz ortogonal y $ Lambda $ diagonal con valores propios en diagonales. Por $ A ^ 2 $ obtenemos
$$ A ^ 2 = Q Lambda ^ 2 Q ‘$$
entonces los autovalores de $ A ^ 2 $ son cuadrados de autovalores de $ A $. La norma $ | A | _2 $ es la raíz cuadrada tomada del máximo $ x’A ^ 2x $ en $ x’x = 1 $, que será la raíz cuadrada del valor propio máximo de $ A ^ 2 $ que es el valor propio absoluto máximo de $ A $.
Usar el teorema espectral para obtener una base ortogonal de autovectores para la matriz es probablemente el mejor enfoque, similar a lo que dijo Ross, dado su criterio de “conceptos simples de álgebra lineal”. Aquí hay otro enfoque que pensé que valía la pena mencionar.
El mayor de los valores absolutos de los valores propios de una matriz $ A $ se llama radio espectral de $ A $, que denotaré $ r (A) $. En general, se permiten valores propios complejos (en parte porque hay matrices reales sin valores propios reales, como $ begin {bmatrix} 0 & 1 \ -1 & 0 end {bmatrix} $), pero afortunadamente resulta que real las matrices simétricas solo pueden tener valores propios reales, por lo que aquí no hay ninguna diferencia. La desigualdad $ r (A) leq | A | $ es fácil, porque si $ lambda $ es un valor propio para $ A $ y $ v $ es un vector propio correspondiente (distinto de cero), entonces $ | Av | = | lambda v | = | lambda | | v | $, que muestra que $ | A | geq | lambda | $.
Sorprendentemente, existe una fórmula para el radio espectral en términos de la norma, $ r (A) = lim_ {k to infty} | A ^ k | ^ {1 / k} $. Observaré antes de continuar que todo lo que he dicho hasta ahora es independiente de la norma sobre el espacio en el que actúan las matrices (es decir, independiente de la norma de operador que elija para las matrices). Pero ahora, asumiendo la norma euclidiana (que está implícita en su pregunta), la norma matricial tiene la propiedad de que $ | A ^ 2 | = | A | ^ 2 $ para una matriz simétrica real $ A $. Inductivamente obtienes $ | A ^ {2 ^ k} | = | A | ^ {2 ^ k} $, y aplicando la fórmula del radio espectral se obtiene $ r (A) = lim_ {k to infty } | A ^ {2 ^ k} | ^ {1/2 ^ k} = lim_ {k to infty} | A | = | A | $.