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Solución:
Eso podría funcionar, pero tiene muchas más variables que ecuaciones. Recomiendo pensar en su lugar de la siguiente manera:
La región $ 0 leq x, y leq 1$ es un cuadrado. Más importante aún, es una región compacta. Entonces sabemos que nuestra función tomará un máximo y un mínimo en alguna parte. Entonces alcanzará sus extremos en el interior o en el límite.
Para comprobar el interior, realice la prueba habitual de máximos y mínimos: tome el gradiente y póngalo a cero. Utilice la ‘prueba de la segunda derivada’ multivariable o simplemente compare los puntos para verificar los máximos y mínimos. Ahora, deberías comprobar los límites. Esto significa que podría hacer el método regular de multiplicadores de Lagrange 4 veces, una con cada restricción $$begin align y &= 0; quad x = 0 \ y &= 0; quad x = 1 \ y &= 1; quad x = 0 \ y &= 1; quad x = 1 endalign$$ Quiero enfatizar que haría estas restricciones por separado en lugar de juntos. Cada uno es muy trivial de resolver, pero solo presta atención a las soluciones dentro de su región de interés. Hay un lugar más que debe verificar, y son las esquinas (aquí, el límite del límite: es como si tratáramos nuestro dominio como 4 líneas separadas, cerradas y delimitadas).
Finalmente, compara estas tres áreas: el interior, los límites de línea y los límites de esquina. Debido a que la región es compacta, no será ser un máximo absoluto y un mínimo absoluto (quizás múltiples). Esa parece ser la forma más fácil de hacer esto, especialmente porque todas las ecuaciones en este caso son muy simples de resolver (todas lineales).
Debo señalar que no necesita usar multiplicadores de Lagrange si no lo desea. Podría interpretar las líneas como caminos y maximizar/minimizar la curva a lo largo de cada uno de los caminos (que no requiere lagrange, sino una parametrización). Entonces todavía comparas el interior y el límite. Pero esto no me suena tan divertido, y no vale la pena en este caso.
Lo que llamas “restricciones” es en realidad la definición del conjunto compacto $Q$ sobre el cual se debe maximizar la función $f$. Para encontrar este máximo hay que armar una lista de puntos candidatos $P_ken Q$, usando la “estratificación” de $Q$ en variedades abiertas de dimensiones $2$, $1$ y $0$. La razón de esto es la siguiente: establecer una derivada (o $nabla f$) en $0$ solo encontrará puntos estacionarios en el interior de algún dominio de “dimensión completa”.
En su ejemplo, el conjunto $Q$ se estratifica de la siguiente manera: consiste en un interior abierto de $2$ dimensiones $Q^circ$, de cuatro segmentos límite de $1$ dimensiones $E_i$ (¡sin puntos finales!) y de cuatro vértices $V_i$.
Los posibles candidatos en $Q^circ$ se destacan resolviendo la ecuación $nabla f(x,y)=0$, es decir, el sistema $f_x(x,y)=0$, $f_y(x ,y)=0$, y conservando las soluciones que se encuentran en $Q^circ$.
Para los posibles candidatos en una arista $E_i$ hay dos métodos: O puede producir una representación paramétrica $tmapstobigl(x(t),y(t)bigr)$ de $E_i$ (que en su ejemplo, ciertamente puede) y luego calcule los “puntos condicionalmente estacionarios” de $f$ en $E_i$ mirando el retroceso $phi(t):=fbigl(x(t),y(t) bigr)$. Esto significa que resuelves la ecuación $phi'(t)=0$, obtienes $t_k$ y agregas los puntos $bigl(x(t_k),y(t_k)bigr)$ a la lista, si pertenecen a $Q$. Si su borde $E_i$ está dado por una restricción $G(x,y)=0$ que no puede resolver para $x$ o $y$, entonces debe recurrir a los multiplicadores de Lagrange. (Omito los detalles.)
Finalmente, debe agregar los vértices $V_i$ a su lista de candidatos.
Suponga que ahora tiene una lista finita de candidatos $L=P_1, P_2,ldots, P_r\subset Q$. Entonces $$max_(x,y)in Q f(x,y) = maxf(P_1),f(P_2),ldots, f(P_r)\ .$ ps
Lamento que las cosas sean tan engorrosas, incluso para un dominio tan simple como un cuadrado. Pero es fácil inventar un ejemplo en el que al olvidar un vértice o un punto condicionalmente estacionario en un borde se pierde el máximo de $f$ en $Q$.
la respuesta de mixedmath es correcta; aquí hay algo más sobre su pregunta “¿dónde me equivoqué?”. Ha intentado imponer las cuatro restricciones a la vez, aunque no todas son compatibles. Recuerda que la solución usando multiplicadores de Lagrange no solo implica sumar múltiplos de las restricciones a la función objetivo, sino también determinar tanto las variables originales como los multiplicadores poniendo a cero todas las derivadas (donde las derivadas con respecto a los multiplicadores son las restricciones) . Si incluye restricciones incompatibles (como $x=0$ y $x=1$), el sistema de ecuaciones resultante no tiene soluciones. En el presente caso, debido a que las restricciones difieren solo por las constantes aditivas, podría ignorar eso y simplemente establecer las derivadas de su función con respecto a $x$ y $y$ en cero e imponer las restricciones un par en un momento; entonces solo tendría un ligero exceso de multiplicadores pero aún obtendría los valores correctos de $x$ y $y$; pero si sus restricciones difieren de tal manera que sus derivadas con respecto a las variables difieren (es decir, por algo más que una constante aditiva), eso ya no funcionará y las restricciones se volverán inextricablemente mixed si las impones todas a la vez.
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