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Multiplicador VBE con cancelación de resistencia del emisor

Este grupo de redactores ha estado mucho tiempo investigando para dar soluciones a tu pregunta, te dejamos la soluciones así que esperamos que te resulte de gran ayuda.

Solución:

Me gustaría simplificar un poco el esquema que tiene, para que podamos evitar temporalmente tener que discutir continuamente el potenciómetro cuando se supone que el propósito real es tratar de comprender el circuito:

esquemático

simular este circuito: esquema creado con CircuitLab

En lo anterior, proporcioné un modelo de comportamiento en el lado izquierdo. Se le da seguimiento al BJT de primer orden. $ V_ text BE $ topología multiplicadora sin compensación por corrientes variables a través del bloque multiplicador en el ejemplo central. A la derecha, hay un BJT de segundo orden. $ V_ text BE $ topología multiplicadora que incluye compensación por corrientes variables a través del bloque.

Todo comienza analizando el esquema del medio. La forma en que lo analice depende de las herramientas que tenga disponibles para el análisis. Se podría usar el híbrido linealizado de pequeña señal. $ pi $ modelo. Pero eso supone que lo entiendes y lo aceptas por completo. Entonces, en cambio, tomemos esto de una comprensión más prosaica del modelo BJT que descuida cualquier análisis de CA. En su lugar, tomémoslo completamente de modelos de CC de gran señal y comparemos los resultados de CC “cercanos” para ver qué sucede.

Supongamos que estamos usando una fuente de corriente constante que puede variar su corriente ligeramente, alrededor de un valor promedio asumido de $ I_ text src = 4 : text mA $. En aras de la simplicidad, supongamos también que el valor de la unión base-emisor, cuando $ I_ text C = 4 : text mA $ exactamente, es exactamente $ V_ text BE left (I_ text C = 4 : text mA right) = 700 : text mV $. Suponga que la temperatura de funcionamiento es tal que $ V_T = 26 : text mV $ y que la temperatura de funcionamiento no cambia independientemente de las variaciones en $ I_ text src $ bajo consideración.

Finalmente, asumiremos que las variaciones en $ V_ text BE $ seguir la regla general desarrollada a partir de la siguiente aproximación:

$$ begin align * text Suponiendo, \\ V_ BE left (I_ text C right) & = V ^ I_ text C = 4 : text mA _ text BE + V_T cdot operatorname ln left ( frac I_ text C I_ text C = 4 : text mA right) \\ & por lo tanto \\ text El cambio en & V_ text BE text para un cambio en I_ text C text near I_ texto C = 4 : text mA text es, \\ Delta , V_ BE left (I_ text C right) & = V_ BE left (I_ text C right) – ​​V_ BE left (I_ text C = 4 : text mA right) \\ & = V_ BE left (I_ text C right) – ​​V ^ I_ text C = 4 : text mA _ text BE \\ text O, más simplemente, \\ Delta , V_ BE left (I_ text C right) & = V_T cdot operatorname ln left ( frac I_ texto C I_ text C = 4 : text mA right) end align * $$

¿Es esto suficiente para empezar?

Recuerde, cuando el $ V_ text BE $ El multiplicador se utiliza como parte de la etapa de salida del amplificador de clase AB, la fuente de corriente en sí varía algo con respecto a las variaciones del riel de la fuente de alimentación y también las variaciones en la unidad base para los cuadrantes superior e inferior de la etapa de salida. (El cuadrante superior, cuando necesita la corriente de la unidad base, desviará la corriente de la fuente del lado alto y, por lo tanto, esto hará que la corriente atraviese el $ V_ text BE $ multiplicador para variar; a veces, dependiendo de los valores de diseño, varía mucho).

¿Puedes trabajar en algunas de las matemáticas involucradas aquí? ¿O necesitas más ayuda?

(Acabo de señalar dónde se encuentra ese condensador en su diagrama. Creo que debería estar entre el colector y el emisor. Pero, ¿quién sabe? Tal vez me equivoque en eso. Dejemos eso para una pregunta diferente).


Usual $ V_ text BE $ Ecuación multiplicadora

Este será un enfoque muy simplificado, por ahora. (El modelo aquí necesitará ajustes más adelante). Asumiremos que el nodo inferior ( $ V _- $) se conectará a tierra, con fines de referencia. No importa si este nodo está conectado al colector de un VAS y el voltaje real se mueve hacia arriba y hacia abajo en una etapa de amplificador real. El propósito aquí es averiguar el $ V_ text BE $ voltaje multiplicador en $ V _ + $ con respecto a $ V _- $.

Tenga en cuenta que el voltaje base del BJT, $ V_ text B $, también es exactamente igual que $ V_ text BE $. Entonces $ V_ text BE = V_ text B $. Puedo usar cualquiera de estos para propósitos de análisis nodal. Elijo usar $ V_ text BE $ como el nombre del nodo en la base BJT. La ecuación simplificada es:

$$ frac V_ text BE R_1 + frac V_ text BE R_2 + I_ text B = frac V _ + R_1 $$

(Las corrientes salientes están a la izquierda y las corrientes entrantes están a la derecha. Deben ser iguales).

También tenemos una fuente actual. Lo llamaré $ I_ text src $. Para el circuito medio de arriba, parte de esa corriente pasa a través de $ R_1 $ y el resto pasa por el colector de $ Q_1 $. La corriente base es la corriente del colector ( $ I_ text C = I_ text src – frac V _ + – V_ text BE R_1 $) dividido por $ beta $. Dado $ I_ text B = frac I_ text C beta $, podemos reescribir la ecuación anterior:

$$ frac V_ text BE R_1 + frac V_ text BE R_2 + frac I_ text src – frac V _ + – V_ text BE R_1 beta = frac V _ + R_1 $$

Resolviendo para $ V _ + $, encontramos:

$$ V _ + = V_ text BE left (1+ frac R_1 R_2 frac beta beta + 1 right) + I_ text src frac R_1 beta $$

Cuando el segundo término es pequeño (o descuidado), entonces el primer término se puede simplificar asumiendo $ beta $ es grande y toda la ecuación se convierte en:

$$ V _ + = V_ text BE left (1+ frac R_1 R_2 right) $$

¿Cuál es la ecuación habitual utilizada para estimar el voltaje de un $ V_ text BE $ multiplicador.

Solo tenga en cuenta que esto está muy simplificado. De hecho, demasiado. El valor de $ V_ text BE $ se considera una constante y, de hecho, no es en absoluto una constante. En cambio, es una función de la corriente del colector. (Además, descuidamos el segundo término. Ese término puede ser lo suficientemente importante como para preocuparse, según el diseño).

Desde el $ V_ text BE $ multiplicador en realidad multiplica $ V_ text BE $ por algún valor mayor que 1, cualquier estimación errónea sobre $ V_ text BE $ se multiplicará. Y dado que la fuente de corriente utilizada en un circuito práctico también proporciona al cuadrante superior la corriente de accionamiento base durante la mitad de cada ciclo de salida antes de llega al $ V_ text BE $ multiplicador, el valor de $ V_ text BE $ variará para ese medio ciclo porque su corriente de colector también variará.

Es probable que se deba hacer cualquier cosa útil que se pueda hacer (de forma económica) para mejorar la forma en que varía en esas circunstancias. Una técnica es simplemente colocar un condensador en el medio $ V_ text BE $ circuito multiplicador. Pero otra técnica es usar una resistencia colectora, $ R_ text comp $ en el esquema del lado derecho de arriba.


Análisis del esquema medio para las variaciones de la corriente del colector

Ninguno de los desarrollos de ecuaciones anteriores es tan útil para calcular el efecto de los valores variables para $ I_ text src $. Hay varias formas de solucionarlo.

Una simplificación útil es imaginar que hay una pequeña resistencia dentro del BJT y ubicada justo antes de su terminal emisor. Esta resistencia se llama $ r_e $ y su valor depende de la magnitud de la corriente del emisor / colector. Lo verás como $ r_e = frac V_T overline I_ text C $ o como $ r_e = frac V_T overline I_ text E $, dónde $ overline I_ text C $ y $ overline I_ text E $ son algunos supuestos puntos medios de la curva alrededor de los cuales varían esas corrientes. Realmente no importa cuál use, porque los BJT modernos tienen valores bastante altos para $ beta $. Así que no nos preocupemos por las minucias y en su lugar asumamos $ r_e $ es una función de la corriente del colector.

Si aceptamos esta simplificación por ahora, entonces podemos considerar que existe una $ V ^ ‘ _ text BE $ con un valor fijo que se encuentra entre el terminal base y el lado interno de $ r_e $ y agrupamos todas las variaciones en nuestra medida externa observada de $ V_ text BE $ debido a que la corriente del colector atraviesa $ r_e $. Esto funciona bien como un modelo mejorado aproximado, siempre que no se desvíe mucho de alguna corriente de colector promedio asumida que se usa para calcular $ r_e $. (Supuesto de pequeña señal). [If it really does vary a lot (for example, say, the collector current varies from $10:mutextA$ to $10:textmA$), then the $r_e$ model ceases to be nearly so useful.]

Pero digamos que diseña su fuente actual para que $ I_ text src = 4 : text mA $ y no espera que el cuadrante superior requiera más de $ 1 : text mA $ para su unidad base. Esto significa que tu $ V_ text BE $ multiplicador experimentará corrientes a través de él desde $ 3 : text mA $ para $ 4 : text mA $ durante la operación. ¿Cuánto esperarías $ V_ text BE $ multiplicador para variar su voltaje en estas circunstancias variables?

Bueno, eso es bastante fácil. Ahora hemos agrupado toda la variación en $ V_ text BE $ como resultado de nuestro modelo $ r_e $, calculado con algún valor de corriente de colector de punto medio elegido. Dado que el multiplicador multiplica el externo, observable $ V_ text BE $ y dado que eso incluye el efecto de la corriente del colector sobre $ r_e $ entonces podemos esperar (utilizando la estimación altamente simplificada desarrollada más temprano):

$$ V _ + = left (V ^ ‘ _ text BE + I_ text C cdot r_e right) left (1+ frac R_1 R_2 right) $$

Entonces la variación en $ V _ + $ se debe al segundo término en el primer factor, o $ I_ text C cdot r_e cdot left (1+ frac R_1 R_2 right) $. (Tenga en cuenta que $ I_ text C $ en este factor es no lo mismo que $ overline I_ text C $ utilizado para calcular $ r_e $ por lo que no puede simplificar el producto de $ I_ text C $ y $ r_e $ aquí. De hecho, el objetivo de crear $ r_e $ es que no puede hacer esa cancelación.) Si agrupa los dos últimos factores allí en un valor de “resistencia” efectivo por el que debe pasar la corriente del colector, entonces esa resistencia sería $ r_e cdot left (1+ frac R_1 R_2 right) $.

Que es justo lo que G36 mencionó como la resistencia efectiva para el esquema del medio.


Agregar una resistencia de colector al $ V_ text BE $ Multiplicador

Ahora, tenga en cuenta que, de hecho, la corriente del colector varía en funcionamiento. Quizás como mencioné anteriormente. Quizás más. Quizás menos. Pero varía. La importancia de esto dependerá de su esquema y de sus elecciones de diseño. Pero supongamos que es lo suficientemente importante que esté dispuesto a considerar agregar una resistencia barata a la pata del colector como se muestra en el esquema de la derecha, arriba. (Le han dicho que esta es una “buena idea”).

¿Por qué es esto una buena idea? Bueno, a primera vista debería ser fácil ver que si la corriente del colector en el circuito medio aumenta, entonces el $ V _ + $ aumenta en una pequeña cantidad. Pero, ¿y si agregamos una resistencia de colector? ¿No significaría eso que si la corriente del colector aumentara, el voltaje del colector mismo caería debido al cambio en la caída de voltaje a través de la resistencia del colector? ¿Le sugiere esto que si pudiera elegir el valor correcto para esta resistencia de colector, entonces podría diseñarlo correctamente para que el aumento de caída coincida con lo que de otro modo habría sido un aumento en $ V _ + $ en el circuito medio?

Si está de acuerdo con esa lógica, ¿puede ahora averiguar cómo calcular un valor para $ R_ text comp $ que sería “justo” y luego calcular la nueva resistencia efectiva del nuevo circuito?

Piense en esto por un momento. Usted tiene un $ V_ text BE $ multiplicador aquí y conoce la ecuación aproximada utilizada para calcular su voltaje. Pero esta ecuación no tiene en cuenta el hecho de que $ V_ text BE $ cambia cuando cambia la corriente del colector. El valor de $ r_e $ (en algún diseño valor de la corriente del colector) es la herramienta que le ayuda a cuantificar el cambio en $ V_ text BE $ para cambios en la corriente del colector. Y sabes que el $ V_ text BE $ multiplicador multiplicar ese cambio también. Entonces, si la corriente del colector aumenta (porque el cuadrante superior deja de requerir la corriente de impulsión base, dejando que toda la corriente de la fuente de corriente fluya a través del multiplicador), entonces el voltaje del multiplicador aumentará por el cambio multiplicado en la caída a través $ r_e $. Para contrarrestar este efecto, desea que la caída de voltaje de la resistencia del colector también aumente en la misma cantidad.

Entonces, ¿eso te ayuda a pensar en cómo calcular el valor de la resistencia del colector? Como primera aproximación, ¿no le gustaría que el valor fuera aproximadamente $ R_ text comp approx r_e left (1+ frac R_1 R_2 right) $ de modo que cuando el cambio en la corriente del colector crea un cambio multiplicado en $ V_ text BE $ que la caída en esta resistencia colectora recién agregada coincidirá con ella?


Análisis más detallado relacionado con la selección $ R_ text comp $

El voltaje multiplicador real se aproximará mejor con la versión más compleja que desarrollé a partir del análisis nodal:

$$ V _ + = V_ text BE left (1+ frac R_1 R_2 frac beta beta + 1 right) + I_ text src frac R_1 beta $$

Por ejemplo, suponga $ I_ text src = 4 : text mA $ y una temperatura de funcionamiento que establece $ V_T = 26 : text mV $. Además, supongamos que usamos $ R_1 = R_2 = 4.7 : text k Omega $. Y asumamos $ beta = 200 $ para el BJT que tenemos entre manos, ahora mismo. Supongamos también que el voltaje base-emisor se toma como $ V_ text BE = 690 : text mV $ (Estoy eligiendo un valor extraño a propósito). Entonces el valor del primer término es $ approx 1.38 : text V $. Pero el valor del segundo término es $ aprox 100 : text mV $. Entonces realmente estaríamos esperando tal vez $ approx 1.48 : text V $ para el voltaje multiplicador.

Ahora tomemos la ecuación anterior y trabajemos en los detalles de lo que sucede cuando la corriente pasa a través del $ V_ text BE $ cambios de multiplicador (lo que hará debido a las variaciones de la unidad base del cuadrante superior, en funcionamiento):

$$ newcommand dd[1] text d left (# 1 right) newcommand d[1] text d , # 1 begin align * V _ + & = V_ text BE left (1+ frac R_1 R_2 frac beta beta + 1 right) + R_1 , frac I_ text src beta \\ dd V _ + & = dd V_ text BE left (1+ frac R_1 R_2 frac beta beta + 1 right) + R_1 , frac I_ text src beta \\ & = dd V_ text BE left (1+ frac R_1 R_2 frac beta beta + 1 right) + dd R_1 , frac I_ text src beta \\ & = dd I_ text src , r_e , left (1+ frac R_1 R_2 frac beta beta +1 right) + dd I_ text src , frac R_1 beta \\ & = dd I_ text src , left[r_e,left(1+fracR_1R_2fracbetabeta+1right)+fracR_1betaright]\\ & por lo tanto \\ frac d V _ + d I_ text src & = r_e , left (1+ frac R_1 R_2 frac beta beta + 1 right) + frac R_1 beta end align * $$

El primer término trata sobre lo que escribí anteriormente sobre la impedancia estimada del multiplicador. Pero ahora tenemos un segundo mandato. Veamos los valores relativos (dados los supuestos anteriores sobre elementos y supuestos específicos del circuito).

Aquí, después de tener en cuenta la corriente del par divisor de la resistencia base y la corriente base requerida, el primer término es $ aproximadamente 14 : Omega $. El segundo término es $ aproximadamente 24 : Omega $. Entonces la impedancia total es $ aprox 38 : Omega $.

¡Tenga en cuenta que esto es en realidad un poco más grande de lo que hubiéramos esperado de la estimación simplificada anterior!

Entonces el $ V_ text BE $ multiplicador es peor de lo esperado. Los cambios actuales tendrán un cambio mayor de lo esperado. Esto es algo que vale la pena arreglar con una resistencia colectora.

Suponga que hacemos que la resistencia del colector sea exactamente igual a esta resistencia total calculada anteriormente. A saber, $ R_ text comp = 38 : Omega $. La razón es que esperamos que el cambio en la caída de voltaje en $ R_ text comp $ coincidirá con el aumento / disminución en el $ V_ text BE $ multiplicador, ya que ambos se ven igualmente afectados por cambios en la corriente del colector debido a cambios en $ I_ text src $. (Hasta ahora hemos evitado realizar directamente un análisis completo en el esquema del lado derecho y, en cambio, solo estamos haciendo estimaciones de agitación manual sobre qué esperar). Dada la impedancia estimada anterior y este ajuste del circuito utilizado para compensarlo, deberíamos esperar para ver casi ningún cambio en la salida de voltaje si usamos el esquema del lado derecho.

Aquí está el esquema de LTspice que utilicé para representar el esquema compensado del lado derecho:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Y aquí está el análisis trazado de LTspice de la $ V _ + $ salida usando un barrido de CC:

ingrese la descripción de la imagen aquí

¡Tenga en cuenta lo bien que se compensa la salida! Tenga en cuenta que el pico se encuentra casi exactamente donde nuestro valor nominal para $ I_ text src $ también se encuentra?

¡La idea funciona! Tanto en términos de ser compensados ​​exactamente donde queremos esa compensación como en proporcionar un comportamiento bastante bueno cerca. ¡¡¡Nada mal!!!


Apéndice: Derivación de $ r_e $

Estoy seguro de que recuerdas la ecuación con la que empezaré. Simplemente siga la lógica a continuación:

$$ newcommand dd[1] text d left (# 1 right) newcommand d[1] text d , # 1 begin align * I_ text C & = I_ text sat left[e^^fracV_textBEeta,V_T-1right]\\ dd I_ text C & = dd I_ text sat left[e^^fracV_textBEeta,V_T-1right] = I_ text sat cdot dd e ^ ^ frac V_ text BE eta , V_T – 1 = I_ text sat cdot dd e ^ ^ frac V_ text BE eta , V_T \\ & = I_ text sat cdot e ^ ^ frac V_ text BE eta , V_T cdot frac dd V_ text BE eta , V_T end align * $$

Ya que $ I_ text sat left[e^^fracV_textBEeta,V_T-1right] approx I_ text sat cdot e ^ ^ frac V_ text BE eta , V_T $ (el término -1 no hace ninguna diferencia práctica), podemos concluir:

$$ begin align * dd I_ text C & = I_ text C cdot frac dd V_ text BE eta , V_T end align * $$

De lo cual una manipulación algebraica muy simple produce:

$$ newcommand dd[1] text d left (# 1 right) newcommand d[1] text d , # 1 begin align * frac dd V_ text BE dd I_ text C & = frac d V_ text BE d I_ text C = frac eta , V_T I_ text C = r_e end align * $$

La idea aquí es que la ecuación de Shockley BJT en modo activo, que relaciona el voltaje base-emisor con la corriente del colector, es una curva exponencial (sin el término -1, de todos modos) y el valor de $ r_e $ es una forma de representar la pendiente local (tangente) de esa curva. Siempre que la desviación de la corriente del colector desde donde se calculó este valor de resistencia dinámica sea pequeña, el valor de $ r_e $ no cambia mucho y luego puede estimar fácilmente el pequeño cambio en $ V_ text BE $ como causado por el pequeño cambio en la corriente del colector a través de esta resistencia dinámica.

Dado que la corriente del colector debe sumarse a la corriente del emisor, $ r_e $ es mejor “visualizado” como “estar justo en la punta del emisor”. Esto es para que los cambios en la corriente del colector porque un cambio en el voltaje base-emisor. (Si en cambio hubieras imaginado $ r_e $ al estar en la punta del colector, no afectaría el voltaje base-emisor y, por lo tanto, sería inútil para el propósito previsto).

Para responder a su pregunta principal:

De todos modos, ¿por qué causaría algún error en el ajuste del voltaje de polarización para la siguiente etapa de salida? Además, ¿de qué manera r′e se opone / niega los efectos de re?

Debido al valor finito de la impedancia de salida en el multiplicador VBE.
$$ r_o approx (1+ frac R_1 R_2 cdot r_e) $$
El voltaje de polarización (voltaje de salida del multiplicador VBE Vce) variará junto con el $ I_ VAS $ Actual .

Por ejemplo si $ I_ VAS = 4mA $ y $ R_1 = R_2 $

Tenemos $ r_o approx 13 Omega $

Esto significa que si $ I_ VAS = 4mA $ aumenta en $ 1 mA $, el voltaje de polarización aumentará en $ 13 mV $.

Pero podemos reducir este “error” agregando una resistencia externa al colector ( $ r’e = 13 Omega $).

Entonces, ahora como $ I_ VAS $ la corriente aumenta y la caída de voltaje de la resistencia del colector también aumenta. El voltaje de polarización permanecerá sin cambios debido a una caída de voltaje adicional en $ r’e $ resistor.

Mira el resultado de la simulación:
ingrese la descripción de la imagen aquí

Observe que debido al hecho de que la impedancia de salida del multiplicador VBE no es constante sino que es una función de $ I_ VAS $ actual, este enfoque de compensación será óptimo solo con la corriente especificada. Pero como puede ver en el resultado de la simulación, este no es un gran problema.

ingrese la descripción de la imagen aquí

Y en este esquema simplificado estaba tratando de mostrar cómo esta resistencia adicional compensa el efecto de impedancia de salida del multiplicador VBE en el voltaje de salida. En el caso cuando $ R_ comp = r_o $

La variación del voltaje del carril de alimentación da como resultado la variación de la corriente producida por la fuente de corriente “constante” debido a la variación en el Vbe del transistor de las fuentes de corriente.

Sin r’e, esta variación de corriente conduce a una variación en el Vce del multiplicador Vbe, lo que provoca una variación del sesgo de la etapa de salida.

La inclusión de r’e cancela la variación del multiplicador Vce de Vbe al provocar una caída de voltaje variable en r’e a medida que varía la corriente de las fuentes de corriente constante.

El aumento en el voltaje de la fuente de alimentación conduce a un aumento en la corriente de la fuente de corriente, lo que conduce a un aumento en Vce del multiplicador Vbe, lo que también conduce a una mayor caída de voltaje en r’e manteniendo constante la polarización de la etapa de salida.

De manera similar para una reducción en el voltaje del carril de alimentación.

La inclusión de r’e sería necesaria, por ejemplo, en el caso de un amplificador de producción que se venda en una amplia zona geográfica (por ejemplo, en toda Europa) donde el voltaje de la red eléctrica podría variar, lo que provocaría variaciones en el carril de alimentación.

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