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Solución:
Considere el conjunto $$ mathcal F = left ( mathbb Z / m mathbb Z right) ^ mathbb Z / n mathbb Z $$
de todas las funciones $ varphi: mathbb Z / n mathbb Z flecha derecha mathbb Z / m mathbb Z $ (no morfismos de grupo, solo funciones). Entonces puede definir una acción de grupo de $ mathbb Z / n mathbb Z $ sobre $ mathcal F $ por
$$ begin array & mathbb Z / n mathbb Z times mathcal F & longrightarrow & mathcal F \ & quad quad (k, varphi ) & longmapsto & (x mapsto varphi (x + k)) end matriz $$
Cuentemos el número de puntos fijos de un elemento. $ k in mathbb Z / n mathbb Z $ para esta acción. Una función $ varphi $ es fijado por $ k $ si $ varphi $ es constante en las órbitas de la acción natural (aditiva) de $ k $ sobre $ mathbb Z / n mathbb Z $ : por un hecho clásico, esta acción tiene exactamente $ gcd (k, n) $ órbitas, por lo que tienes exactamente $ m ^ gcd (k, n) $ funciones de $ mathbb Z / n mathbb Z $ para $ mathbb Z / m mathbb Z $ que son constantes en estas órbitas, es decir $ k $ tiene exactamente $ m ^ gcd (k, n) $ puntos fijos para la acción de $ mathbb Z / n mathbb Z $ sobre $ mathcal F $.
Luego puede aplicar la fórmula de Burnside para obtener eso
$$ mathrm Tarjeta ( mathcal F / ( mathbb Z / n mathbb Z)) = frac 1 n sum_ k = 1 ^ nm ^ mcd (k, n) $$
entonces, dado que LHS es un número entero, $ n $ debe dividir $ sum_ k = 1 ^ nm ^ gcd (k, n) $.
Para dar una respuesta completamente aritmética al problema, introduzcamos un par de notaciones:
- denotamos por $ mathbb P $ el conjunto de todos estrictamente positivo enteros primos, en otras palabras, el conjunto de lo que comúnmente se entiende como números primos (desde el punto de vista algebraico estricto, $ 0 $ y $ -2 $ son los dos elementos principales del anillo $ mathbb Z $).
- por dado $ r in mathbb Z $ denotamos por $ mathrm D (r) colon = k in mathbb N $ el conjunto de todos sus divisores naturales.
- por dado $ r in mathbb Z $ te presentamos el set $ Pi (r) colon = p mid r $ de todos sus principales divisores.
- por dado $ n in mathbb N $ definimos el conjunto $ mathrm P (n) colon = k in mathbb N $ de todos los números naturales distintos de cero menos de $ n $ y coprime con él. También hemos usado tácitamente la notación $ (r; s) $ para indicar el máximo común divisor de números enteros dados $ r, s in mathbb Z $ (el papel del punto y coma en la notación es evitar confusiones con la sintaxis de los pares ordenados). Cuando $ n in mathbb N ^ times colon = mathbb N setminus 0 $, tenemos por definición que $ | mathrm P (n) | = varphi (n) $.
- para dos enteros cualesquiera $ r, s in mathbb Z $, denotamos por PS[r, s]PS los entero y no el intervalo real entre $ r $ y $ s $.
- para cualquier $ n in mathbb N ^ times $ introducimos el polinomio $ P_n colon = Displaystyle sum_ k = 1 ^ n X ^ (k; n) in mathbb Z[X]PS.
Con la notación anterior, nuestro objetivo es mostrar que para cualquier $ n in mathbb N ^ times $ y cualquier $ m in mathbb Z $ la relación $ n mid P_n (m) $ sostiene, o de manera más sucinta, el subconjunto:
$$ M colon = left P_n (m) _ m in mathbb Z subseteq n mathbb Z right $$
es igual a todo su conjunto ambiental $ mathbb N ^ times $.
Antes de pasar al núcleo de la prueba, se necesita un resultado preliminar:
Proposición. Para cada $ n in mathbb N ^ times $ tenemos la expresión $ P_n = Displaystyle sum_ d in mathrm D (n) varphi left ( frac n d right) X ^ d = Displaystyle sum_ d in mathrm D (n) varphi (d) X ^ frac n d $.
Prueba. La segunda igualdad es una simple consecuencia del hecho de que el mapa:
$$ begin align * mathrm D (n) & to mathrm D (n) \ d & mapsto frac n d end align * $$
es una permutación involutiva del conjunto $ mathrm D (n) $ de índices de suma. Para establecer el primero, comencemos remarcando que el mapa:
$$ begin align * delta colon [1, n] & to mathrm D (n) \ delta (k) & = (k; n) end align * $$
es claramente una sobreyección cuya fibra en cada elemento del codominio está dada por $ delta ^ – 1[d]= d mathrm P left ( frac n d right) $. Esto significa que $ left (d mathrm P left ( frac n d right) right) _ d in mathrm D (n) $ es una partición de PS[1, n]PS y así tenemos:
$$ P_n = sum_ d in mathrm D (n) sum_ k in d mathrm P left ( frac n d right) X ^ delta (k) = sum_ d in mathrm D (n) sum_ k in d mathrm P left ( frac n d right) X ^ d = sum_ d in mathrm D (n) left | d mathrm P left ( frac n d right) right | X ^ d = sum_ d in mathrm D (n) varphi left ( frac n d right) X ^ d, $$
concluyendo nuestra prueba. $ Caja $
Organizamos la prueba en los siguientes dos pasos:
- Primero, mostramos que para cualquier $ m, n en M $ tal que $ (m; n) = 1 $ también tenemos $ mn en M $.
- segundo, mostramos que para cualquier prima $ p in mathbb P $ y para cualquier exponente $ k in mathbb N $ tenemos $ p ^ k en M $.
Establecer las dos afirmaciones anteriores es suficiente, ya que nos permite probar que $ mathbb N ^ times subseteq M $ por inducción en $ | Pi (n) | $ para natural arbitrario distinto de cero $ n $ (argumento que, por supuesto, se basa en el teorema fundamental de la aritmética; tenga en cuenta que el caso base de esta inducción corresponde a la afirmación $ 1 en M $, lo cual es claramente cierto). Justifiquemos ahora cada una de las dos afirmaciones anteriores:
- Aquí comenzamos estableciendo otro resultado auxiliar:
Proposición. Dejar $ m, n in mathbb N ^ times $ ser coprime, $ (m; n) = 1 $. Entonces el mapa:
$$ begin align * mathrm D (m) times mathrm D (n) & to mathrm D (mn) \ (k, l) & mapsto kl end align * $$
es una biyección.
Prueba. Considere los primeros dos pares de divisores $ (k, l), (k ‘, l’) in mathrm D (m) times mathrm D (n) $ tal que $ kl = k’l ‘$. Ya que $ l, l ‘ mid n $ eso es obvio $ (m; l), (m; l ‘) mid (m; n) = 1 $ y por lo tanto $ (m; l) = (m; l ‘) = 1 $. Así, de una de las propiedades fundamentales de la operación mcd se sigue que $ (m; kl) = (m; k) = k $ y análogamente $ (m; k’l ‘) = (m; k’) = k ‘$. Ya que $ kl = k’l ‘$ deducimos inmediatamente que $ k = k ‘$ y posteriormente $ l = l ‘$ (por $ 0 notin mathrm D (n) $ siempre y cuando $ n neq0 $). Esto muestra que el mapa presentado anteriormente es inyectivo. En cuanto a su sobrejetividad, considérese un arbitrario $ h in mathrm D (mn) $ y definir $ k colon = (m; h) in mathrm D (m) $. Si seguimos introduciendo $ l colon = frac h k $ reunimos eso $ left ( frac m k, l right) = 1 $, en virtud de otra propiedad fundamental de la operación gcd. De $ h mid mn $ inferimos que $ l mid frac m k n $ y teniendo en cuenta que $ l $ y $ frac m k $ son relativamente buenos, entendemos que $ l mid n $. Por lo tanto, $ l in mathrm D (n) $ y hemos expresado $ h = kl $ como producto de los divisores $ k in mathrm D (m) $ y $ l in mathrm D (n) $, lo que significa que nuestro mapa también es sobreyectivo. $ Caja $
Continuamos poniendo en uso el resultado anterior para señalar que dados números naturales coprimos distintos de cero $ m $ y $ n $ tenemos:
$$ begin align * P_ mn & = sum_ h in mathrm D (mn) varphi left ( frac mn h right) X ^ h \ & = sum _ substack k in mathrm D (m) \ l in mathrm D (n) varphi left ( frac mn kl right) X ^ kl \ & = sum _ subck k in mathrm D (m) \ l in mathrm D (n) varphi left ( frac m k frac n l right) X ^ kl \ & = sum_ k in mathrm D (m) sum_ l in mathrm D (n) varphi left ( frac m k right) varphi left ( frac n l right) X ^ kl \ & = sum_ k en mathrm D (m) varphi left ( frac m k right) sum_ l in mathrm D (n) varphi left ( frac n l right) left (X ^ k right) ^ l \ & = sum_ k in mathrm D (m) varphi left ( frac m k right) P_n left (X ^ k right) end align * $$
junto con la relación análoga (obtenida considerando $ mathrm D (n) $ como el dominio externo de la suma):
$$ P_ mn = sum_ l in mathrm D (n) varphi left ( frac n l right) P_m left (X ^ l right). $ PS
El coprimerismo de $ m $ y $ n $ es fundamental para justificar la relación $ varphi left ( frac m k frac n l right) = varphi left ( frac m k right) varphi left ( frac n l right) $, teniendo en cuenta que $ izquierda ( frac m k; frac n l derecha) mid (m; n) = 1 $.
Consideremos ahora arbitrario $ r in mathbb Z $. Si $ m, n en M $ tenemos $ m mid P_m (s) $ y de manera similar $ n mid P_n (s) $ para cualquier $ s in mathbb Z $. De las relaciones anteriores obtenemos en particular que:
$$ begin align * P_ mn (r) & = sum_ l in mathrm D (n) varphi left ( frac n l right) P_m izquierda (r ^ l derecha) in m mathbb Z \ P_ mn (r) & = sum_ k in mathrm D (m) varphi left ( frac m k right) P_n left (r ^ k right) in n mathbb Z, end align * $$
por eso $ P_ mn (r) in m mathbb Z cap n mathbb Z = mn mathbb Z $, la última relación entre ideales de $ mathbb Z $ siendo también válido en virtud de $ (m; n) = 1 $. Esto significa que $ mn en M $ y establece nuestro primer reclamo.
- Aquí nuevamente procedemos por inducción sobre el exponente $ k $ para demostrar que $ p ^ k en M $ para todos $ k in mathbb N $, el caso base $ k = 0 $ siendo equivalente a $ 1 en M $ y por lo tanto trivial por definición de $ M $. Para ello, primero destacamos la relación general:
$$ P_ p ^ k = sum_ i = 0 ^ k varphi left (p ^ i right) X ^ p ^ ki = X ^ p ^ k + sum_ i = 1 ^ kp ^ i-1 (p-1) X ^ p ^ ki, $$
basado en el hecho de que el mapa:
$$ begin align *
[0, k] & to mathrm D left (p ^ k right) \ i & mapsto p ^ i end align * $$
es una biyección y empleamos esta relación general para derivar la relación recursiva:
$$ begin align * P_ p ^ k + 1 & = X ^ p ^ k + 1 + sum_ i = 1 ^ k + 1 p ^ i- 1 (p-1) X ^ p ^ k + 1-i \ & = X ^ p ^ k + 1 + sum_ i = 0 ^ kp ^ i (p- 1) X ^ p ^ ki \ & = X ^ p ^ k + 1 + (p-1) X ^ p ^ k + sum_ i = 1 ^ kp ^ i (p-1) X ^ p ^ ki \ & = X ^ p ^ k + 1 + (p-1) X ^ p ^ k + p sum_ i = 1 ^ kp ^ i-1 (p-1) X ^ p ^ ki \ & = X ^ p ^ k + 1 – X ^ p ^ k + p izquierda (X ^ p ^ k + sum_ i = 1 ^ kp ^ i-1 (p-1) X ^ p ^ ki right) \ & = X ^ p ^ k + 1 – X ^ p ^ k + pP_ p ^ k. end align * $$
Considere ahora un arbitrario $ m in mathbb Z $. Dado que por el supuesto inductivo se nos da que $ p ^ k en M $, inferimos $ P_ p ^ k (m) in p ^ k mathbb Z $ y posteriormente $ pP_ p ^ k (m) in p ^ k + 1 mathbb Z $. Por tanto, para demostrar que $ P_ p ^ k + 1 (m) in p ^ k + 1 mathbb Z $ por arbitrario $ m in mathbb Z $ y por lo tanto concluir que $ p ^ k + 1 en M $, basta con establecer la siguiente versión de “orden superior” del pequeño teorema de Fermat:
$$ ( forall k, m) left (k in mathbb N wedge m in mathbb Z Rightarrow m ^ p ^ k + 1 equiv m ^ p ^ k left ( mathrm mod p ^ k + 1 right) right), $$
para cebado fijo $ p in mathbb P $.
Primero observemos que para fijo $ k in mathbb N $ y cualquier múltiplo $ m in p mathbb Z $ de $ p $ tenemos la relación obvia $ p ^ p ^ k mid m ^ p ^ k left (m ^ p ^ k (p-1) – 1 right) = m ^ p ^ k + 1 -m ^ p ^ k $ y desde $ p geqslant 2 $ también podemos inferir que $ p ^ k geqslant 2 ^ k geqslant k + 1 $ (es una desigualdad fundamental de tipo Bernoulli que $ 2 ^ n geqslant n + 1 $ para cualquier $ n in mathbb N $). Luego se deduce que en el caso particular $ p mid m $ por lo tanto tenemos $ p ^ k + 1 mid p ^ p ^ k mid m ^ p ^ k + 1 – m ^ p ^ k $, que establece el reclamo de orden superior.
Para probar esta versión de orden superior para no múltiplos de $ p $ recurrimos una vez más a la inducción en $ k $. El caso base $ k = 0 $ no es otro que el pequeño teorema de Fermat. Suponiendo que la afirmación sea válida para arbitrarias $ k in mathbb N $ lo establecemos para $ k + 1 $. Dejar $ m in mathbb Z setminus p mathbb Z $. Tenemos la factorización:
$$ begin align * m ^ p ^ k + 2 – m ^ p ^ k + 1 & = m ^ p ^ k + 1 left (m ^ p ^ k + 1 (p-1) – 1 right) \ & = m ^ p ^ k + 1 left ( left (m ^ p ^ k (p-1) right) ^ p-1 right) \ & = m ^ p ^ k + 1 left (m ^ p ^ k (p-1) – 1 right) sum_ l = 0 ^ p-1 left (m ^ p ^ k (p-1) right) ^ l \ & = m ^ p ^ k (p-1) left (m ^ p ^ k + 1 – m ^ p ^ k right) sum_ l = 0 ^ p-1 left (m ^ p ^ k (p-1) right ) ^ l, end align * $$
de lo que deducimos que, junto con la hipótesis de inducción según la cual $ m ^ p ^ k + 1 – m ^ p ^ k in p ^ k + 1 mathbb Z $, para demostrar que $ m ^ p ^ k + 2 – m ^ p ^ k + 1 in p ^ k + 2 mathbb Z $ basta con demostrar que $ p mid displaystyle sum_ l = 0 ^ p-1 left (m ^ p ^ k (p-1) right) ^ l = sum_ l = 0 ^ p -1 left (m ^ p ^ kl right) ^ p-1 $. Sin embargo, dado que por hipótesis $ p nmid m $ también tenemos eso $ p nmid m ^ p ^ kl $ para cualquier $ l in [0, p-1]PS, de donde en virtud del pequeño teorema de Fermat inferimos que $ left (m ^ p ^ kl right) ^ p-1 equiv 1 left ( mathrm mod p right) $ y finalmente que:
$$ sum_ l = 0 ^ p-1 left (m ^ p ^ kl right) ^ p-1 equiv sum_ l = 0 ^ p-1 1 = p equiv 0 left ( mathrm mod p right), $$
que establece plenamente nuestra afirmación y pone fin a nuestro argumento.
Sección de Reseñas y Valoraciones
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