Te traemos el arreglo a este conflicto, al menos eso pensamos. Si sigues con preguntas coméntalo y sin dudarlo te responderemos
Solución:
Además de lo dicho por @Evgeny y @MrYouMath: el conjunto $$ M=left (x,y)inmathbb R^2 :; x^2+y^2<2 right $$ es un conjunto positivamente invariante del sistema considerado ya que $forall (x,y)in M$ $$ dot V=-x^4-y^ 4+x^2y^2(x^2+y^2)<-x^4-y^4+2x^2y^2=-(x^2-y^2)^2leq 0; $$ también es un subconjunto (estimación garantizada) del dominio de atracción.
Como @Evgeny sugirió que podría usar el candidato de la función Lyapunov
$$V(x,y)=dfrac12left[x^2+y^2right].$$
$V(x,y)$ es claramente definido positivo en el origen y radialmente ilimitado (que necesitaríamos para evaluar la estabilidad asintótica global).
La derivada temporal de $V(x,y)$ viene dada por $$dotV=xdotx+ydoty=x(-yx^3+x^3y^2) +y(xy^3+x^2y^3)$$ $$dotV=-x^4-y^4+x^2y^2(x^2+y^2)=-(1 -y^2)x^4-(1-x^2)y^4.$$
Como los términos de orden inferior $-x^4-y^4$ son definidos negativos, podemos concluir que el punto de equilibrio es asintóticamente estable en una región alrededor del origen. Usando el comentario dado por @Evgeny podemos ver que esta expresión es semidefinida negativa si $(x,y)$ se encuentran dentro del círculo unitario $D=x^2+y^2< 1$. Esta es la cuenca de atracción (corrección debida a @Artem).
No podemos decir si el origen es globalmente asintóticamente estable porque $dotV$ no es definida negativa para todas las regiones alrededor del origen. Esto no significa que el origen no pueda ser globalmente asintóticamente estable. Simplemente significa que solo podemos mostrar la estabilidad asintótica (local) del origen con $V(x)$ como nuestra función candidata de Lyapunov.
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