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Solución:
Aquí hay tres métodos diferentes para mostrar que $ mathbb P ( sup_ t in[0,1] vert B_t vert < epsilon) $ es distinto de cero.
Un argumento sencillo basado en la intuición. Puede dividir el intervalo de la unidad en muchos pequeños pasos de tiempo y, por continuidad, el movimiento browniano no se moverá mucho a lo largo de cada uno de estos pasos. Independientemente de los incrementos, existe una probabilidad positiva (pero pequeña) de que se cancelen en gran medida, por lo que $ B $ permanece dentro de $ epsilon $ del origen. Para hacer esto preciso, elija un entero positivo $ n $ tal que $ q equiv mathbb P ( sup_ t le1 / n vert B_t vert < epsilon / 2) $ sea distinto de cero ($ q $ puede hacerse tan cerca de 1 como desee, tomando $ n $ grande). Por simetría, el evento $ sup_ t le1 / n vert B_t vert < epsilon/2, B_1/n>0 $ tiene probabilidad $ q / 2 $. Tenga en cuenta que, si $ sup_ t in[k/n,(k+1)/n] vert B_t-B_ k / n vert < epsilon / 2 $ y $ B _ (k + 1) / n -B_ k / n $ tiene el signo opuesto a $ B_ k / n $ por cada $ k = 0,1, ldots, n-1 $ entonces $ vert B_t vert $ estará acotado por $ epsilon / 2 $ en los tiempos $ k / n $ y, por lo tanto, $ sup_ t le1 vert B_t vert $ será menor que $ epsilon $. Entonces, $ mathbb P ( sup_ t le1 vert B_t vert < epsilon) ge (q / 2) ^ n $.
Usa un truco astuto. Si $ X, Y $ son movimientos brownianos independientes en el intervalo $[0,1]$, entonces $ B = (XY) / sqrt 2 $ también es un movimiento browniano. Las rutas de muestra de $ X, Y, B $ pueden considerarse ubicadas en el espacio métrico (completo, separable) $ C ([0,1]) $ de funciones continuas $[0,1] to mathbb R $ bajo la norma superior. Por separabilidad, $ C ([0,1]) $ puede cubrirse contablemente con muchas bolas abiertas de radio $ epsilon / sqrt 2 $. Entonces, por aditividad contable de la medida de probabilidad, existe al menos una de esas bolas que contiene $ X $ con probabilidad $ q> 0 $. Por independencia, $ X, Y $ están contenidos en esta bola con probabilidad $ q ^ 2> 0 $, en cuyo caso $ Vert B Vert_ infty = Vert X- Y Vert_ infty / sqrt 2 < epsilon $.
Cálculo exacto. Puede calcular una expresión exacta para la probabilidad, como una suma infinita, y verificar que esté dominada por un solo término positivo cuando $ epsilon $ llega a cero. Esto no es tan simple como el argumento intuitivo que di anteriormente, pero tiene la ventaja de que también proporciona una expresión asintótica precisa para la probabilidad, que llega a cero como $ e ^ – pi ^ 2 / (8 epsilon ^ 2 ) $ as $ epsilon to0 $ (esto es positivo, pero tiende a cero muy rápidamente).
La probabilidad se puede calcular usando el principio de reflexión (vea también mis comentarios y la respuesta de Douglas Zare a esta pregunta). Escribiendo $ p (x) = (2 pi) ^ – 1/2 e ^ – x ^ 2/2 $ para la función de densidad de probabilidad de $ B_1 $ y $ f (x) = sum_ n = – infty ^ infty (-1) ^ n1 _ (2n-1) epsilon
Puede realizar la integral en (1) directamente para expresar la probabilidad como una suma infinita sobre la función de distribución normal acumulada, pero esto no es tan bueno en el límite donde $ epsilon $ es pequeño, ya que no tiene una sola término dominante. Alternativamente, la integral en (1) se puede escribir como $ int _ – epsilon ^ epsilon theta (x) , dx $ donde $ theta (x) = sum_ n = – infty ^ infty (-1) ^ np (x + 2n epsilon) $. Como $ theta $ tiene un período $ 4 epsilon $, puedes escribirlo como una serie de Fourier, y calcular los coeficientes da $$ theta (x) = epsilon ^ – 1 sum _ substack n> 0 , \ n rm odd cos left ( frac n pi x 2 epsilon right) exp left (- frac n ^ 2 pi ^ 2 8 epsilon ^ 2 derecha). $$ Esta es una suma convergente muy rápida, especialmente para $ epsilon $ pequeños (los términos desaparecen mucho más rápido que exponencialmente en $ n $). En realidad, $ theta $ es una función theta y la transformada de Fourier es lo mismo que la identidad de Jacobi. Integrarlo término por término da $$ mathbb P left ( sup_ t le1 vert B_t vert < epsilonright)=sum_substackn > 0, \ n rm odd frac 4 n pi (- 1) ^ (n-1) / 2 exp left (- frac n ^ 2 pi ^ 2 8 epsilon ^ 2 right) $$ Como el primer término llega a cero mucho más lentamente que la suma de los términos restantes (como $ epsilon to0 $) esto da la expresión asintótica $$ mathbb P left ( sup_ t le1 vert B_t vert < epsilon right) sim frac 4 pi exp left (- frac pi ^ 2 8 epsilon ^ 2 derecha). $$
Debe haber un argumento simple, pero aquí hay uno elegante, siguiendo aproximadamente la idea de El Moro.
$ Y_t = cos ( theta B_t) e ^ t theta ^ 2/2 $ es una martingala continua para cualquier $ theta in mathbb R $. Además, $ tau = inf t: $ es un tiempo de parada, por lo que $ Y_ t wedge tau $ también es una martingala, y en particular $$ E[Y_t wedge tau] = E[Y_0] = 1 quad [0,1]$$ para todos los $ t $. Si $ P ( sup_ t in[Y_tau] | B_t | < epsilon) = 0 $, luego $ tau le 1 $ casi seguramente, y tomando $ t = 1 $ en[e^tau theta^2/2]da $ 1 = E
= cos ( theta epsilon) E
$ lo cual es absurdo. (Por ejemplo, tome $ theta = frac pi 2 epsilon $). Esta es una especie de versión infantil del teorema de parada opcional.Editar: Aquí hay un argumento aún más elegante, que encontré en HH Kuo’s
Medidas gaussianas en espacios de Banach[0,1].
Sea $ W = omega in C (
): omega (0) = 0 $ sea el espacio clásico de Wiener, equipado con la norma sup, y sea $ mu $ la medida de Wiener. Estamos tratando de mostrar que para cualquier $ epsilon> 0 $ tenemos $ mu (B (0, epsilon))> 0 $. Como en el “truco astuto” de George, $ W $ es separable, por lo que puede cubrirse con un número contable de bolas de radio $ epsilon / 2 $. Por aditividad contable, una de estas bolas, llámela $ B ( omega_0, epsilon / 2) $, tiene una medida $ mu $ positiva.
Sea $ H subconjunto W $ el espacio de caminos de Cameron-Martin con una derivada débil integrable al cuadrado. $ H $ es denso en $ W $, por lo que existe $ h en H cap B ( omega_0, epsilon / 2) $. Según el teorema de Cameron-Martin, $ mu $ es casi invariante tras la traducción de $ H $, es decir, $ mu ll mu ( cdot – h) $. Entonces $ mu (B ( omega_0 – h, epsilon / 2))> 0 $. Por la desigualdad del triángulo $ B ( omega_0 – h, epsilon / 2) subset B (0, epsilon) $ así que esto completa la demostración.[0,1]Tenga en cuenta que esto muestra que en cualquier espacio abstracto de Wiener $ (W, H, mu) $, la medida $ mu $ cobra todos los conjuntos abiertos de $ W $, o en otras palabras, $ mu $ tiene soporte completo.
Sea $ M = sup_ t in[Mlevarepsilon] | B_t | $ y $ T = inf = 1 $. Al escalar, $ M $ y $ 1 / sqrt T $ coinciden en la ley, por lo que $ P (M le varepsilon) = 0 $ implicaría que la distribución de $ T $ no está acotada.
Considerando la martingala $ cosh (uB_t) mathrm e ^ – u ^ 2t / 2 $ y aplicando el teorema del tiempo de parada en el tiempo $ T $, se muestra que la transformada de Laplace de $ T $ es $$ E ( mathrm e ^ – u ^ 2T / 2) = 1 / cosh (u). $$ Esta es una igualdad entre dos expansiones de serie, por lo tanto, $$ E ( mathrm e ^ u ^ 2T / 2) = 1 / cos (u), $$ para cada número real $ u $ tal que $ u ^ 2 $ es lo suficientemente pequeño. Cuando $ u to pi / 2 $, $ cos (u) to0 $ por lo tanto $ mathrm e ^ pi ^ 2T / 8 $ no es integrable. Esto implica que la distribución de $ T $ no está acotada, de ahí el evento $ $ tiene probabilidad positiva para cada $ varepsilon $ positivo. Una fuente entre muchas es el libro
Métodos matemáticos para los mercados financieros
de Monique Jeanblanc, Marc Yor y Marc Chesney (capítulo 3).
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