Presta atención porque en esta noticia vas a encontrar el arreglo que buscas.Este escrito ha sido evaluado por nuestros especialistas para garantizar la calidad y exactitud de nuestro post.
Solución:
Sea $n geq 2$ un número natural y $M$ un toro de dimensión $2n$. Entonces, un elemento genérico de $H^2(M, mathbb R)$ proviene de una forma simpléctica, porque podemos tomar un invariante de forma $2$ bajo la acción del toro que lo representa, y es un simpléctico, y un genérico tal la forma no es degenerada.
Por lo tanto, es suficiente mostrar que para un $omega in H^2(M,mathbb R)$ genérico, el grupo de difeomorfismos no envía $omega$ a $-omega$.
La acción de los factores del grupo de difeomorfismos a través de la representación $wedge^2$ de $GL_2n(mathbb Z)$. Debido a que $2n>2$, ningún elemento actúa como $-1$ en esta representación: el producto de dos valores propios diferentes tendría que ser $-1$, pero no puede haber $3$ o más números con esta propiedad.
Para cada $sigma in GL_2n(mathbb Z)$, los $omega$ que se envían a $-omega$ forman un subespacio propio en $H^2(M, mathbb R) $, y hay contablemente muchos de esos. Elegir $omega$ fuera de todos estos subespacios te da un ejemplo. Por ejemplo, un $omega$ aleatorio tiene éxito con una probabilidad de $1$.
La siguiente respuesta fue una sugerencia de Ivan Smith. Parece un argumento muy bueno, aunque la prueba es de bastante alta tecnología.
Supongamos que $X$ es una variedad simpléctica compacta. Al agregar una pequeña forma genérica de 2, podemos asegurar que los coeficientes de $omega$ con respecto a una base de $H^2(X;mathbbZ)$ son linealmente independientes sobre $mathbbQ ps Cualquier difeomorfismo que invierta $omega$ tiene que actuar como $-1$ en $H^2$.
La pregunta ahora es encontrar un $X$ tal que ningún elemento de $mathrmDiff$ actúe como $-1$ en $H^2$, e Ivan dijo que una superficie K3 funcionaría. $H^2$ tiene el rango 22 y la firma del formulario de intersección es $(3, 19)$. Aparentemente, la teoría de Donaldson significa que $mathrmDiff$ conserva la orientación de un subespacio tridimensional definido positivo de $H^2$, por lo que en particular no puede actuar como $-1$. Esto se explica en Donaldson-Kronheimer (Corolario 9.1.4), pero la idea básica es que la elección de tal orientación permite orientar algún espacio de módulos teóricos de medida. Al invertir la orientación, se invierte el signo de una invariante de Donaldson correspondiente, pero esta invariante no es cero, por lo que no es igual a sí misma con el signo invertido.
Al final de la artículo puedes encontrar los informes de otros desarrolladores, tú incluso tienes la habilidad dejar el tuyo si lo deseas.