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Solución:
No ha especificado la suavidad, por lo que con suerte $C^1$ está bien Fue Denjoy quien demostró en 1932 que si un $C^1$ difeomorfismo $f$ del círculo tiene un número de rotación irracional $alfa$ y su derivada tiene variación acotada, entonces es $C^0$-conjugado con el $alfa$-rotación, y por lo tanto es únicamente ergódica. Respondiendo a la pregunta de Denjoy, Herman (1979) y Katok (ver Sección 3.6 de Cornfeld-Fomin-Sinai) demostraron que si $f$ es $C^2$ y un número de rotación irracional, entonces también es ergódico con respecto a la medida de Lebesgue. Más tarde el $C^2$ condición fue reemplazada por Katok-Hasselblatt con la condición de Denjoy ($C^1$ y variación acotada de la derivada).
Oliveira y da Rocha (2001) dieron un ejemplo de un mínimo no ergódico (con respecto a la medida de Lebesgue) $C^1$ difeomorfismo $f$ del círculo que es $C^0$ conjugado a una rotación irracional (y por lo tanto es únicamente ergódico). Finalmente, Kodama y Matsumoto (2013) demostraron que la no ergodicidad en tales ejemplos se puede hacer “lo más fuerte posible”, a saber $f$ puede elegirse para que sea completamente disipativo con respecto a la medida de Lebesgue, es decir, tal que sus componentes ergódicas sean solo órbitas, o, de manera equivalente, admita un “dominio fundamental” medible.
No pude encontrar una versión en línea, pero este artículo de Yoccoz proporciona un ejemplo de un difeomorfismo de la $2$-toro dimensional que es el producto de dos difeomorfismos circulares analíticos, que es mínimo, únicamente ergódico y totalmente disipativo para la medida de Lebesgue (por lo tanto, no puede ser ergódico).