Posterior a indagar en diferentes repositorios y sitios de internet al concluir nos encontramos con la resolución que te enseñamos aquí.
Solución:
Es un tema complicado, pero muy bien estudiado en el contexto de los frenos de corrientes de Foucault, donde la fuerza de retardo se utiliza para crear una fuerza de frenado sin fricción/desgaste mecánico. Para mí, el punto de partida para obtener más información fue esta publicación; en particular, la publicación de Jim Hardy contenía muchos enlaces buenos.
Parece que algunos de los análisis más significativos fueron realizados por Smythe (1942), Schiber (1974) y Wouterse (1992) – ver este capítulo de tesis para muchos detalles.
Solo resumiendo, parece que hay cuatro factores significativos (sorpresa). Estos son
- El campo magnético en sí: espera que la fuerza se escale con el cuadrado del campo, ya que la corriente inducida se escala con el campo, y la fuerza se escala con el producto del campo y la corriente.
- La velocidad del movimiento: cuanto más rápido te muevas, mayor será el cambio en el flujo y, por lo tanto, mayor será la fuerza. En primer orden, espera una relación lineal, aunque hay un efecto indirecto sobre la resistencia:
- La resistencia efectiva de la placa (resistencia por unidad de área). Para materiales no ferromagnéticos, el efecto piel no es muy grande y la corriente fluirá a través del cuerpo de la placa: pero con materiales ferromagnéticos y altas velocidades, la corriente solo ocurrirá en la superficie. Esto aumenta la resistencia y reduce la corriente y, por lo tanto, la fuerza.
- El tamaño del parche magnético: cuanto mayor sea el parche, mayor será el segmento de línea de corriente sobre el que puede actuar la fuerza magnética.
Esto significa que para baja velocidad, la fuerza se expresa como
$$F = fracvcdot B^2cdot Arho/t$$
donde $v$ es la velocidad, $B$ el campo magnético, $A$ el área del parche magnético, $rho$ la resistividad del volumen y $t$ el espesor de la placa (resistividad del área $sigma = rho / t$). Tenga en cuenta que modifiqué ligeramente la ecuación dada en la referencia: mostraba el par de un disco giratorio, del cual deduje la fuerza ($F = fracGammaR$)
Ahora, cuando la velocidad aumenta, las corrientes inducidas pueden generar un campo que es una fracción significativa del campo aplicado; y como mencioné, el efecto piel puede comenzar a jugar. Ambos generarán un término adicional en la relación entre la fuerza y la velocidad, pero en este punto los cálculos se vuelven difíciles de realizar analíticamente y, por lo general, se realizan ajustando datos experimentales.
Pero lo anterior debería darnos un comienzo. Nos dice que los conductores más gruesos experimentan una mayor fuerza y que a medida que las cosas se mueven más rápido, la fuerza aumentará. Hay un hermoso experimento que demuestra las corrientes de Foucault en el que se deja caer un imán fuerte por un tubo de cobre grueso y casi parece flotar: esta observación es totalmente consistente con la ecuación anterior (se necesita cobre grueso para obtener suficiente inducción; y dado que la fuerza aumenta con la velocidad, habrá una velocidad a la cual la fuerza de retardo cancela la gravedad).
Aquí se muestra un video que muestra este fenómeno; dicho sea de paso, muestra que el efecto es más fuerte para el tubo de cobre que para el tubo de aluminio, lo que es consistente con el hecho de que la conductividad volumétrica del cobre es mayor que la del aluminio (alrededor de 1,5 veces). ).
Puedo dar una derivación al dorso del sobre de una fuerza de arrastre que ignora los efectos marginales y otras complicaciones. Digamos que el conductor es una placa de espesor $Delta z$ viajando con velocidad $v$ en la dirección x. Tome el campo magnético como constante en un área rectangular, con el $Delta y$ lado perpendicular a la velocidad mucho más largo que $Delta x$ lado.
El campo eléctrico inducido circulará alrededor de los bordes anterior y posterior del rectángulo en direcciones opuestas. Vea la imagen de Wikipedia y observe cómo la corriente (proporcional al campo) es más fuerte en el medio y apunta perpendicular a la velocidad.
como el $Delta y$ la longitud del rectángulo se vuelve más larga, solo el campo dirigido por y en el medio es significativo (al igual que un solenoide largo).
Luego tomando un camino de integración rectangular de longitud L en la dirección y y usando $$punto Ecdot dl = EL$$$$ = -dPhi / dt = -B dA/dt = -B v L, $$
entonces la magnitud de E
$$ E = Bv, $$
y es aproximadamente cero fuera del volumen $V = Delta x Delta y Delta z$.
Entonces, por la ley de Ohm, la potencia perdida es
$$ P = int E cdot J dV = int sigma lvert Ervert^2 dV = sigma B^2 v^2 V, $$
donde $sigma$ es la conductividad del material. Si ejerces una fuerza $F_d$ para mantener la velocidad $v$ estás haciendo trabajo por tiempo $F_d v$entonces la fuerza debe ser
$$ F_d = sigma B^2 v V. $$
En general, me imagino que habría un coeficiente al frente que depende de una geometría más detallada. A modo de comparación, aquí hay una fórmula de disipación de potencia con algunos factores numéricos diferentes en el frente y usando frecuencia en lugar de velocidad, pero la misma forma.
Ahora, si está buscando calcular un conjunto más realista de corrientes de Foucault, tome $B(x-vt,y,z)$ ser el campo magnético. Entonces $$nabla times E = -parcial_t B = v,parcial_x B $$
y asi desde $nablacdot E =0,$ de la fórmula habitual para invertir el rizo,
$$E(mathbfr) = nablatimes int frac v,partial_x B(mathbfr^prime)4pi lvertmathbfr- matemáticasbfr^primervertdV^prime.$$
Entonces puedes integrar $sigmalvert Ervert^2$ encuentre la potencia disipada y luego la fuerza como se indicó anteriormente.
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