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Solución:
La variable $u$ es constante a lo largo de las curvas características, que satisfacen
beginalineado x'(t) & = u(x(t),t) , , \ & = u(x(0),0) , . endalineado
Así, estas últimas son líneas rectas en el $x$–$t$ plano, determinado por los datos iniciales. Aquí, los datos iniciales son constantes por tramos, es decir, resolvemos problemas de Riemann. Como se muestra en la siguiente figura,
- características se separan en la vecindad de $x=0$y se produce una onda de rarefacción;
- características se cruzan en la vecindad de $x=1$y se produce una onda de choque.
La onda de rarefacción es una solución autosimilar continua, deducida de la autosimilitud Enfoque$u (x,t)=v (xi)$ con $xi = x/t$. Por cierto,
$$ parcial_t u(x,t) + u(x,t), parcial_x u(x,t) = left(v(xi) – xiright) fracv'(xi )t , , $$
y por lo tanto, $v(xi) = xi$ o $u(x,t) = x/t$. La velocidad del choque $s$ viene dada por la condición de salto de Rankine-Hugoniot:
$$ s = (1+0)/2, . $$
Siempre que la rarefacción y el choque no interactúen, la solución es, por lo tanto,
$$ u(x,t) = leftlbrace beginaligned & 0 &&textif ; xleq 0 , , \ & x/t &&textsi; 0leq xleq t , , \ & 1 &&textsi; t leq x < 1+ t/2 , ,\ & 0 &&textif; 1+t/2 < x , , endalineado right. $$
válido para tiempos $t tal que $t^* = 1 + t^*/2 = 2$. En el momento $t^*$, ambas ondas interactúan. La nueva velocidad de choque se determina a partir de la condición de Rankine-Hugoniot
$$ x'(t) = (x(t)/t+0)/2 , , $$
con velocidad de choque inicial $x'(t^*) = s$. Por lo tanto, la solución para $tgeq t^*$ es
$$ u(x,t) = leftlbrace beginaligned & 0 &&textif ; xleq 0 , , \ & x/t &&textsi; 0leq x< sqrt2t , , \ & 0 &&textif; sqrt2t < x , . endalineadoright. $$