Luego de consultar con especialistas en el tema, programadores de deferentes ramas y maestros hemos dado con la respuesta al problema y la dejamos plasmada en esta publicación.
Solución:
El método que describiré se llama Resonancia de ciclotrón y es una buena forma de medir directamente $m^*$ mediante el uso de un campo magnético fijo $boldsymbol B$.
La ecuación de movimiento de los electrones en un determinado material, cuando en presencia de un campo magnético $boldsymbol B$ son
$$ m^*dotboldsymbol v=-eboldsymbol vtimes boldsymbol B -fracm^*tauboldsymbol vtag1 $$ donde $tau$ es el tiempo de relajación$^1$ de los electrones (en general, $tau^-1$ es un número muy pequeño, así que por ahora podríamos tomar $tau^-1=0$; será ser importante más adelante). Si tomamos $tau^-1=0$, entonces la solución de $(1)$ es bien conocida: el electrón se mueve en una órbita circular, con frecuencia angular $$ omega_c=fraceB m^* etiqueta2 $$
Al medir $omega_c$ para diferentes valores de $B$ podemos obtener una medida muy precisa de $m^*$. Pero, la pregunta obvia, ¿cómo podemos medir efectivamente $omega_c$ en un laboratorio? La respuesta es sorprendentemente fácil, como veremos en un momento.
Si, en la situación anterior, encendemos una fuente de luz monocromática (digamos, un láser) con frecuencia $omega$, habrá un campo eléctrico $boldsymbol E;mathrm e^-iomega t $, y las nuevas ecuaciones de movimiento serán $$ m^*dotboldsymbol v=-e(boldsymbol E(t)+boldsymbol vtimes boldsymbol B) -fracm^* tauboldsymbol vtag3 $$
Usando el ansatz $boldsymbol v(t)=boldsymbol v_0;mathrm e^-iomega t$, y resolviendo $boldsymbol v_0$ (a la izquierda como ejercicio), puedes verificar fácilmente que en este caso, $boldsymbol v(t)$ será proporcional a $boldsymbol E(t)$ (que debería ser más o menos intuitivo). Por ejemplo, si tomamos $boldsymbol B$ en la dirección $z$, entonces $boldsymbol v$ está dado por $$ boldsymbol v_0=fracem^*beginpmatrix i omega-1/tau&omega_c&0\-omega_c&iomega-1/tau&0\0&0&iomega-1/tauendpmatrix^-1boldsymbol E tag4 $$ donde $^-1$ significa matriz inversa.
Este sistema absorberá energía de la fuente, por lo que la luz transmitida será menos intensa que la luz entrante. La potencia absorbida es solo $textRe[boldsymbol jcdotboldsymbol E]$, y como $boldsymbol jpropto boldsymbol v$, es fácil comprobar que $$ Ppropto textReleft[frac1-iomega tau(1-iomegatau)^2+omega_c^2tau^2right]propto frac1(1-omega^2tau^2+omega_c^2tau^2)^2+4omega^2tau^2 tag5 $$
Ahora, si variamos $omega$, la potencia $P$ cambia, y de $(5)$ podemos ver que habrá resonancia cuando $(omega^2+omega_c^2)tau^2= 1$. En la práctica, $omegataull 1$, por lo que la frecuencia de resonancia es $omegaapproxomega_c$:
$hespacio100pt$
donde las líneas corresponden a $tau=0.1,;0.5,;1,;3$, de verde a azul. Como puede ver, para $tauto 0$, la resonancia tiende a $omega_c$, por lo que midiendo la frecuencia resonante obtenemos el valor de $omega_c$, es decir, el valor de $m^*$.
$^1$ el tiempo de relajación $tau$ está relacionado con el camino libre medio: $ellsim vtau$. Tomando $tau^-1approx 0$ significa que asumimos que el electrón realiza muchas órbitas de ciclotrón antes de chocar con cualquier cosa (iones, impurezas,…).
Otro método para medir la masa efectiva sería medir la conductividad dependiente de la frecuencia y la resistencia Hall de una muestra. Siguiendo la teoría de Drude podemos obtener una expresión para la conductividad longitudinal $$sigma(omega)=fracsigma_01+iomegatau$$ con $$sigma_0=fracnq^2 taum^*$$ y $n$ es la densidad de electrones (agujeros) y $q$ es la carga por electrón (agujero). La densidad de electrones se puede determinar con gran precisión usando una medida de resistencia Hall $$R_H=frac1nq$$ Esto deja dos incógnitas, $tau$ y $m^*$ que se pueden obtener midiendo y ajustando $sigma(omega)$ a la expresión de la teoría de Drude.
Si bien no se usa mucho, pero es muy buena para la visualización, es la técnica ARPES que mapea directamente la estructura de la banda (Exmpales :)). Esto podría ser muy útil cuando se tiene renormalización de bandas o efectos colectivos, por lo que ya no es sencillo definir la masa efectiva.
Agradecemos que desees añadir valor a nuestro contenido informacional colaborando tu experiencia en las interpretaciones.