Esta es la respuesta más exacta que te podemos compartir, pero mírala detenidamente y valora si es compatible a tu proyecto.
Solución:
Denota $E$ la base canónica de $mathbbR^3$.
A) Estos tres vectores columna definen una matriz $3times 3$ $$P=left(matrix-1&-1&1\1&0&1\0&1&1right)$$ que es la matriz del mapa lineal $$ Identificación:(mathbbR^3,B)longrightarrow (mathbbR^3,E). $$ Esto significa en particular que siempre que a la derecha lo multipliques por un vector columna $(x_1,x_2,x_3)$ donde $x_j$ son las coordenadas de un vector $x=x_1B_1+x_2B_2+x_3B_3$ con respecto a la base $B$, obtienes las coordenadas de $x$ en la base canónica $E$.
Lo que quieres es la matriz de $$ Id:(mathbbR^3,E)longrightarrow (mathbbR^3,B). $$ Eso es $P^-1$, la inversa de la matriz anterior. Esto transformará, por multiplicación correcta, las coordenadas de un vector con respecto a $E$ en sus coordenadas con respecto a $B$. Esa es la matriz de cambio de base que necesita.
B) Como se explicó anteriormente, solo tienes que multiplicar a la derecha el cambio de matriz base $P^-1$ por este vector columna.
Comprueba tu respuesta: deberías encontrar
$$P^-1=izquierda(matriz-1/3&2/3&-1/3\-1/3&-1/3&2/3\1/3&1/3&1/3 derecha) $$ $$left(matriz-1/3&2/3&-1/3\-1/3&-1/3&2/3\1/3&1/3&1/3 right)left(matriz 1\0\0derecha)=izquierda(matriz-1/3\-1/3\1/3derecha).$$
Por definición, la matriz de cambio de base contiene las coordenadas de la nueva base con respecto a la base anterior como sus columnas. Así que por definición $B$ es el cambio de matriz base. La clave para la solución es la ecuación $v = Bv’$ dónde $v$ tiene coordenadas en base antigua y $v’$ tiene coordenadas en la nueva base (la nueva base es Bs cols) supongamos que sabemos que en la base anterior $v$ tiene coordenadas $(1,0,0)$ (como una columna) (que por cierto es solo un viejo vector base) y queremos saber $v’$ (las coordenadas del viejo vector base en términos de la nueva base) luego de la ecuación anterior obtenemos
$$B^-1v = B^-1Bv’ Rightarrow B^-1v = v’$$
Como nodo lateral, a veces queremos preguntar cómo actúa ese cambio de la matriz base B si lo vemos como una transformación lineal, que se da el vector v en la base anterior $v=(v_1,…,v_n)$cual es el vector $Bv$? En general es un vector con la i-ésima coordenada bi1*v1+…+bin*vn (producto punto de la i-ésima fila de $B$ con $v$). Pero, en particular, si consideramos que v es un vector base antiguo que tiene coordenadas (0…1…0) (coordenadas con respecto a la base anterior) donde 1 está en la posición j-ésima, entonces obtenemos $Bv = (b_1j,…,b_nj)$ que es la j-ésima columna de B, que es el j-ésimo vector base de la nueva base. Por lo tanto, podemos decir que B, visto como una transformación lineal, lleva la base antigua a la nueva base.
Comentarios y valoraciones
Tienes la opción de añadir valor a nuestra información colaborando tu experiencia en los informes.