Solución:
Las matrices unitarias son precisamente las matrices que admiten un conjunto completo de vectores propios ortonormales de modo que los valores propios correspondientes se encuentran en el círculo unitario. Las matrices hermitianas son precisamente las matrices que admiten un conjunto completo de vectores propios ortonormales de modo que los valores propios correspondientes son reales. Entonces, las matrices hermitianas unitarias son precisamente las matrices que admiten un conjunto completo de vectores propios ortonormales de modo que los valores propios correspondientes son $ pm 1 $.
Ésta es una condición muy fuerte. Como dice George Lowther, cualquier matriz $ M $ tiene la propiedad de que $ P = frac {M + 1} {2} $ admite un conjunto completo de autovectores ortonormales tales que los autovalores correspondientes son $ 0, 1 $; por tanto, $ P $ es un idempotente hermitiano o, como dice George Lowther, una proyección ortogonal. Por supuesto, estas matrices son interesantes y aparecen de forma natural en las matemáticas, pero me parece que, en general, es más natural partir de la condición de idempotencia.
Supongo que se podría decir que las matrices unitarias hermitianas describen con precisión representaciones unitarias del grupo cíclico $ C_2 $, pero desde esta perspectiva, el hecho de que tales matrices sean hermitianas es un accidente debido al hecho de que $ 2 $ es demasiado pequeño.
Una matriz $ M $ es unitaria y hermitiana si y solo si $ M = 2P-1 $ para una proyección ortogonal $ P $. Es decir, $ P $ es hermitiano y $ P ^ 2 = P $.
Dado que nadie más parece haberlo dicho (al menos explícitamente, aunque los elementos de orden $ 2 $ y las proyecciones están estrechamente vinculados, como se indica en algunas respuestas), una matriz unitaria que también es hermitiana es solo una matriz unitaria de orden multiplicativo en la mayoría $ 2 $ (o, de manera equivalente, una matriz hermitiana de orden multiplicativo como máximo $ 2 $). Para una matriz $ A $ es unitaria si y solo si $ A ^ {*} = A ^ {- 1}, $ donde $ * $ denota “conjugado transpuesto”, mientras que $ A $ es hermitiano si y solo si $ A ^ {*} = A. $ Por tanto, si $ A $ es tanto unitario como hermitiano, tenemos $ A = A ^ {- 1} $ (y $ A $ es unitario). En cuanto a los usos teóricos, el grupo $ { rm SU} _ {n} ^ { pm} ( mathbb {C}) $ es generado por dichas matrices para cada $ n $, donde $ { rm SU} _ { n} ^ { pm} ( mathbb {C}) $ denota el grupo de matrices unitarias $ n veces n $ del determinante $ pm 1 $. Esto es claro para $ n = 1 $, y sigue fácilmente por inducción, usando el hecho de que $ { rm PSU} (n, mathbb {C}) $ es un grupo simple para $ n> 1. $