Solución:
Es la ecuación de un (hiper) plano usando un punto y un vector normal.
Piense en el plano como el conjunto de puntos P tal que el vector que pasa de P0 a P es perpendicular a la normal
Consulte estas páginas para obtener una explicación:
http://mathworld.wolfram.com/Plane.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Plane_%28geometry%29#Definition_with_a_point_and_a_normal_vector
Imagina un plano en un sistema de coordenadas 3D. Para describirlo, necesita un vector normal N de ese plano y la distancia D del plano al origen. Para simplificar, suponga que el vector normal tiene una longitud unitaria. Entonces la ecuación para ese plano es xN – D = 0.
Explicación: xN se puede visualizar como una proyección de x en el vector normal N. El resultado es la longitud del vector x paralelo a N. Si esta longitud es igual a D, el punto x está en el plano.
Una definición de producto escalar (que es un producto interno) es
X . y = |X| * |y| * cos (a)
Donde a es el ángulo más pequeño entre X y y.
Es fácil ver eso X . y = 0, si a = 90 grados (pi rad).
Esto significa que si tiene un vector normal fijo w, un hiperplano dado por:
X . w = 0
es el conjunto de todos los puntos que X puede “señalar” dado que X tiene que ser ortogonal a w.
Ahora, un hiperplano dado por:
X . w + b = 0
es el conjunto de todos los puntos que X puede “señalar” de manera que X . w es una constante. Como X se alarga, |X| aumenta, el ángulo, a, tiene que acercarse a 90 grados (pi rad), cos (a) disminuye, para producir el mismo resultado constante. Sin embargo, si tomas X apuntando en la dirección exactamente opuesta de w, cos (a) = -1 y |X| = b (siempre que w es de longitud unitaria).
Resulta que el plano dado de este conjunto de puntos es paralelo a X . w = 0, y desplazó en el espacio la distancia -b (en la dirección de w) todavía dado que w es de longitud unitaria.
Esta respuesta probablemente no ayudará a la operación, pero es de esperar que alguien más se beneficie de ella.