Perla, parte de nuestro equipo, nos hizo el favor de redactar este tutorial porque controla a la perfección este tema.
Solución:
La respuesta es sí. Este es un caso especial del teorema 10 en Ahlfors’ Análisis complejosección 5, capítulo 6. (Especial en que el teorema dice de manera más general que si el complemento del dominio tiene $n$ componentes conexas no reducidas a puntos en el plano extendido, entonces el dominio es equivalente a un anillo del cual $n -Se han eliminado 2$ rendijas concéntricas. En su caso $n=2$.)
Ver Wikipedia. La tercera entrada de la lista da una respuesta afirmativa.
No. El conjunto resultante ni siquiera necesita ser conectado. Y si lo es, no necesita estar doblemente conectado, ya que la región interior puede tener puntos fronterizos en común con la región original. Aparte de estas crudas objeciones, sin embargo, las respuestas de Mariano y Scott están bien.