Puede que se de el caso de que encuentres algún fallo con tu código o proyecto, recuerda probar siempre en un ambiente de testing antes aplicar el código al trabajo final.
Solución:
Dos vectores
Un vector propio $ v $ de una transformación $ A $ es un vector que, cuando se le aplica la transformación, no cambia su dirección, es decir, $ Av $ es colineal a $ v $. Lo único que puede cambiar es su longitud. El factor de ese cambio es su valor propio $ lambda $.
Así que si
$$ Av_1 = lambda_1 v_1, quad Av_2 = lambda_2 v_2, quad lambda_1 ne lambda_2, $$
significa que $ A $ estira los vectores $ v_1 $ y $ v_2 $ de manera diferente. Esto, por supuesto, sería imposible, si tuvieran la misma dirección, es decir, si fueran colineales, que es lo mismo que ser linealmente dependientes.
Más de dos vectores
Supongamos que tenemos vectores propios $ (v_i) _ i = 1 ^ k $ con sus respectivos valores propios $ ( lambda_i) _ i = 1 ^ k $, donde $ k> 2 $. Suponga que los vectores están dispuestos de manera que $ mathcal B: = v_1, dots, v_j $ es linealmente independiente (para algunos $ j $, $ 1
Obviamente, $ mathcal B $ forma la base del espacio generado por los vectores $ (v_i) _ i = 1 ^ k $. Geométricamente, sin embargo, cada combinación lineal de vectores en $ mathcal B $ forma un paralelepípedo (en $ j $ o menos dimensiones) con el vértice opuesto de $ 0 $ siendo $ v_l: = sum_ i = 1 ^ j alpha_i v_i $. Ahora bien, ¿qué pasa con ese paralelepípedo cuando aplicamos una transformada lineal?
Dado que todos los valores propios $ ( lambda_i) _ i = 1 ^ j $ son distintos, cada uno de sus bordes se estira de manera diferente, lo que significa que la diagonal de ese paralelepípedo no será colineal con el original. En otras palabras,
$$ no existe lambda_l colon A v_l = lambda_l v_l. $$
En otras palabras, un vector linealmente dependiente con los autovectores que tienen autovalores distintos no puede ser un autovector en sí mismo (a menos que sea un caso trivial $ v_l = alpha_p v_p $ para algunos $ p le j $).
$ Av_1 = lambda_1v_1 $, $ Av_2 = lambda_2v_2 $, $ lambda_1 neq lambda_2 $, $ v_1, v_2 neq0 $. Suponga $ v_2 = cv_1 $. Entonces $ Av_2 = lambda_2v_2 = c lambda_2v_1 $ y $ Av_2 = Acv_1 = cAv_1 = c lambda_1v_1 $, por lo tanto $ c ( lambda_2- lambda_1) = 0 implica c = 0 implica v_2 = 0 $.
Sugerencia: si algún vector propio $ v $ se encuentra en el espacio propio correspondiente al valor propio $ lambda $, entonces el valor propio de $ v $ también debe ser $ lambda $.
Recuerda algo, que tienes la capacidad de glosar tu experiencia si te fue preciso.