Después de de una larga compilación de datos resolvimos este asunto que pueden tener algunos los lectores. Te dejamos la solución y esperamos que te resulte de mucha ayuda.
Solución:
Hay un artículo de encuesta de Berndt, Choi y Kang dedicado al conjunto de 58 problemas de Ramanujan. Indican que las preguntas habían aparecido originalmente en la sección de problemas de la Revista y aparentemente los editores publicaron las soluciones de los lectores en ediciones posteriores.
Con respecto a su pregunta 1, permítame citar la Introducción a la encuesta:
Varios de los problemas son elementales y pueden abordarse con una base de matemáticas de secundaria únicamente. Para otros, se necesitan cantidades significativas de análisis duro para lograr soluciones, y algunos problemas no se han resuelto por completo.
Una solución elemental al problema geométrico específico que ha mencionado se puede encontrar en Cuadernos de Ramanujan, Parte III por Berndt (Springer, 1991, pp. 244-246). El problema surge del trabajo de Ramanujan sobre ecuaciones modulares de grado 3…
En cuanto al problema de la planimetría: teniendo un fondo adecuado, no es difícil producir muchos rompecabezas como este. Por ejemplo, aquí hay un par más de puntos en ese círculo misterioso: corte un círculo con centro en $B$ con radio $BM$ y un círculo con centro en $A$ con radio $AB$, entonces los dos puntos de intersección también están en ese círculo de 8 puntos.
Este círculo es un círculo de Apolonio con focos en $A$ y $B$. Más precisamente, es el lugar geométrico de los puntos $X$ tales que $BX:AX=sinalpha$ donde $alpha=angle BAM=frac12angle BAC$. El hecho de que este sea un círculo ortogonal al original es una propiedad general de los círculos de Apolonio, y verificar que la relación de distancias es igual a $sinalpha$ para cada punto es sencillo.
Una solución poco elegante (al problema descrito) que funciona en principio: transformar todo en ecuaciones algebraicas, por ejemplo. configurando $A=(-1,0),B=(1,0),C=(x_C,y_C),M=(x_M,y_M),dots$, $x_C^2+y_C-1=0 ,x_M=1/2(1+x_C),dots$ y calcule una base de Groebner. Hacer algunos ejemplos numéricos demuestra que hay al menos un conjunto suficientemente grande de soluciones reales.
Esto es, por supuesto, feo, pero tiene la ventaja de que puedes darle el trabajo pesado a una máquina.
Si posees alguna suspicacia y capacidad de desarrollar nuestro post eres capaz de dejar una crítica y con placer lo estudiaremos.