Solución:
Los números reales aparecen en $ V _ { omega + n} $ para algunos pequeños $ n $ finitos cuyo valor preciso es sensible a los detalles exactos de cómo elige construir los reales.
Incluso antes de tener que elegir entre cortes de Dedekind y secuencias de Cauchy, los racionales generalmente se construyen como clases de equivalencia (infinitas) de pares de enteros, y los enteros en sí mismos como clases de equivalencia (infinte) de pares de naturales. Cada una de estas construcciones solo puede suceder después de $ V_ omega $ y contribuir un nivel a $ n $, y luego los pares de Kuratowski que usa en el Siguiente la construcción toma algunos niveles adicionales para aparecer.
Sin embargo, si ajusta sus construcciones especialmente para que los reales existan temprano en la jerarquía de Von Neumann, puede usar representantes canónicos en lugar de clases de equivalencia para representar números enteros y racionales. Entonces cada racional está representado por un conjunto finito hereditariamente, y luego $ mathbb Q $ en sí mismo, así como todos sus subconjuntos ya estarán presentes en $ V _ { omega + 1} $ y puedes tener $ mathbb R en V_ { omega + 2} $ por cortes de Dedekind.
Sin embargo, tenga en cuenta que para muchos teóricos de conjuntos, “los reales” tienden a significar simplemente $ mathcal P ( omega) $ en lugar de $ mathbb R $, y $ mathcal P ( omega) $ ciertamente ya surge en $ V_ { omega + 2} $.
En cualquier caso, no puede obtener $ mathbb R $ más temprano que $ V _ { omega + 2} $, porque cada miembro de $ V _ { omega + 1} $ es como mucho contable.
Los números reales no son un objeto intrínseco al universo de la teoría de conjuntos. Tenemos una buena forma de construirlos a partir de los números naturales, pero en realidad cada conjunto de tamaños continuos se puede convertir en números reales.
En particular, tenemos que $ V _ { omega + 1} $ es de tamaño continuo, por lo que en $ V _ { omega + 2} $ ya tiene un conjunto de tamaño continuo que puede funcionar como números reales (por ejemplo, $ mathcal P ( omega) $ ordenado por $ A prec B iff min (A Delta B) in A $).
Si desea calcular otra construcción de los números reales, puede hacerlo manualmente. Supongamos que deseamos pensar en los números reales como cortes de Dedekind, es decir, subconjuntos de $ mathbb Q $, por lo que necesitamos encontrar cuándo entra $ mathbb Q $ en el universo; pero nuevamente tenemos el mismo problema. ¿Qué es $ mathbb Q $? Bueno, podemos pensar en ello como un cociente de $ mathbb Z times mathbb Z $, así que de nuevo … ¿cuándo entra $ mathbb Z $ al universo? Bueno, $ mathbb Z $ es un cociente de $ omega times2 $.
Consideremos las siguientes reglas:
Suponga que $ A $ tiene rango $ alpha $. Sabemos que los pares de $ A $, $ langle a, b rangle = { {a }, {a, b } } $, lo que significa que $ A times A subseteq mathcal { PP} (A) $, entonces $ A times A $ tiene un rango de $ underline { alpha + 3} $.
Sin embargo, los cocientes de $ A times A $ son subconjuntos de $ A $, por lo que tienen un rango de $ alpha + 1 $. Ahora necesitas sentarte y calcular, si $ omega $ tiene rango $ alpha $, ¿cómo llegamos a $ mathbb R $?
Además, si también desea los números reales junto con las adiciones y otras operaciones, debe ir más alto también, porque esas operaciones solo se generan en etapas superiores.
Para leer más:
- Formalizar los números reales en la teoría de conjuntos
- En la teoría de conjuntos, ¿cómo se representan los números reales como conjuntos?