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Solución:
Como se ha señalado, la noción de “abierto” y “cerrado” no es absoluta, sino que depende de una topología. Entonces, para responder a su pregunta, primero debe preguntar qué topología está considerando.
Un espacio topológico es un par, $(X,tau)$, donde $X$ es un conjunto no vacío y $tau$ es una colección de subconjuntos de $X$ tal que:
- $emptyset$ y $X$ son ambos elementos de $tau$;
- Si $A$ y $B$ son elementos de $tau$, entonces $Acap B$ es un elemento de $tau$;
- Si $A_i_iin I$ es una familia arbitraria de elementos de $tau$, entonces $bigcup_iin IA_i$ es un elemento de $tau$.
Los elementos de $tau$ se dice que son “abiertos” (en $X$, en la topología $tau$), y un conjunto $Csubseteq X$ se dice que es “cerrado” si y sólo si $ XCintau$ (es decir, si el complemento está abierto).
En $mathbbR$, podemos dejar que $tau$ sea la colección de todos los subconjuntos que son uniones de intervalos abiertos; de manera equivalente, un conjunto $mathcalOsubseteqmathbbR$ es abierto si y solo si por cada $xinmathcalO$ existe $epsilongt 0$ tal que $(x-epsilon,x+epsilon)subseteqmathcalO$. Es posible que desee convencerse de que la colección de todos estos conjuntos satisface las tres condiciones anteriores y, por lo tanto, hace que $mathbbR$ sea un espacio topológico. Esta topología es lo que se llama la topología “usual” (o “métrica”) en $mathbbR$.
Si está trabajando dentro de $mathbbR$ con esta topología, entonces los singletons $x$ ciertamente están cerrados, porque sus complementos están abiertos: dado cualquier $ain mathbbR- x$, sea $epsilon=|ax|$. Entonces $xnotin (a-epsilon,a+epsilon)$, entonces $(a-epsilon,a+epsilon)subseteq mathbbR-x$; por lo tanto, $mathbbR-x$ está abierto, por lo que $x$ está cerrado.
La razón que das para que $x$ esté abierto no tiene sentido. Cada set es un subconjunto de sí mismo, por lo que si ese argumento fuera válido, cada conjunto siempre estaría “abierto”; pero sabemos que este no es el caso en cada espacio topológico (ciertamente no en $mathbbR$ con la “topología habitual”). Así que ese argumento ciertamente no funciona.
Entonces: ¿$x$ está abierto en $mathbbR$ en la topología habitual? Bueno, $xinx$. ¿Existe un $epsilongt 0$ tal que $(x-epsilon,x+epsilon)subseteq x$? Si es así, felicidades, ha demostrado que el conjunto está abierto. Si no existe tal $epsilon$, y lo demuestra, entonces felicidades, ha demostrado que $x$ no está abierto.
Si le da a $x$ la topología del subespacio y pregunta si $x$ está abierto en $x$ en esta topología, la respuesta es sí. Solo hay una topología posible en un conjunto de un punto, y es discreta (e indiscreta). Sin embargo, si está considerando singletons como subconjuntos de un espacio topológico más grande, esto dependerá de las propiedades de ese espacio. Como indica Trevor, la condición de que los puntos estén cerrados es (equivalente a) la condición $T_1$, y en particular es true en cada espacio métrico, incluido $mathbbR$. Cuando $x$ está abierto en un espacio $X$, entonces $x$ se llama punto aislado de $X$. Si todos los puntos son puntos aislados, entonces la topología es discreta. En los números reales, por ejemplo, no hay puntos aislados; Todo conjunto abierto es una unión de intervalos abiertos.
En resumen, si está hablando de la topología habitual en la línea real, los conjuntos singleton son cerrados pero no abiertos.
Depende de la topología que estés viendo. Para espacios $T_1$, los conjuntos singleton siempre son cerrados. Entonces, para la topología estándar en $mathbbR$, los conjuntos singleton siempre están cerrados.
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