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Solución:
Dado que esta declaración de la pregunta claramente se vuelve loca si permitimos que se admita $ $, trabajaré bajo la suposición de que el anillo tiene al menos un elemento distinto de cero. Supongo también que “sin divisores de cero” está destinado a eliminar los divisores de cero izquierdo y derecho. (Actualización: más tarde se me ocurrió cómo mostrar un anillo sin divisores de cero distintos de cero no tiene divisores de cero de un lado distintos de cero. Si $ab=0$ para $a,b$ distintos de cero, entonces $baneq 0$ y $( ba)^2=0$, una contradicción. Entonces, no existen divisores de cero unilaterales.)
Observe que la multiplicación por elementos distintos de cero debe permutar el conjunto finito de elementos distintos de cero del anillo. Sea $a$ cualquier elemento distinto de cero. Existe un $b$ tal que $ab=a$. Automáticamente, $aba=a^2$ implica $ba=a$ también. $b$ es nuestro candidato a identidad.
Ahora sea $c$ arbitrario y distinto de cero. Existe un $d$ tal que $da=c$. Pero entonces $c=da=dab=cb$ implica $c=cb$ y nuevamente esto lleva a $c^2=cbc$ y $bc=c$.
Por lo tanto, $b$ actúa como una identidad para elementos arbitrarios distintos de cero. Actúa trivialmente como una identidad para $0$. Por tanto, $b$ es la identidad del anillo.
Aquí hay otra prueba divertida. Llame a este anillo $R$ y observe la extensión de Dorroh $Bbb Ztimes R=(z,r)mid zin Bbb Z, rin R$. En caso de que no estés familiarizado con esto, la suma es $(z,r)+(z’,r’)=(z+z’,r+r’)$ y la multiplicación es $(z,r)(z ‘,r’)=(zz’,zr’+z’r+rr’)$. Crea un nuevo anillo $R_1$ que tiene $R$ como ideal.
Como $R^2=R$ y $R$ se genera finitamente, podemos aplicar el lema de Nakayama a $R$ para obtener la existencia de un elemento $xen R$ tal que $(1-x)R= 0$. Desempaquetando eso, vemos que $x$ es un elemento de identidad izquierdo de $R$. Haciendo lo mismo a la derecha, hay una identidad correcta (necesariamente también $x$).
Considere, para $ain R$, el mapa $r_acolon Rto R$ definido por $r_a(x)=xa$; este mapa es inyectivo si $ane0$, por lo tanto, sobreyectivo. Entonces hay un elemento $b$ tal que $ba=a$. Por supuesto $bne0$; por lo tanto existe $cin R$ tal que $bc=b$. Entonces, para cada $xin R$, $$ bx=bcx $$ y así $x=cx$. Por lo tanto, hay una identidad de izquierda. Del mismo modo, hay una identidad correcta.
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