Solución:
$ e ^ {πi} + 1 = 0 $.
$ e ^ {πi} = -1 $.
$ πi = log (-1) $.
$ log (-1) + log (| a |) = log (- | a |) $.
$ log (- | a |) = log (| a |) + iπ $.
La explicación estándar sería así:
Cualquier número complejo $ z $ se puede escribir en forma polar: $$ z = | z | e ^ {i theta}. $$ Entonces, si queremos definir el logaritmo complejo, lo hacemos de la siguiente manera: $$ log (z) = log (| z | e ^ {i theta}) = log (| z |) + log (e ^ {i theta}) = log (| z |) + i theta. $$ En particular, el logaritmo de un número real negativo $ x $ puede calcularse como $$ log (x) = log (| x | e ^ {i pi}) = log (| x |) + log (e ^ {i pi}) = log (| x |) + i pi. $$
Sin embargo, esta explicación no es suficiente y el logaritmo presentado NO es una función bien definida. El ángulo $ theta $ es, bueno, un ángulo y, por lo tanto, solo se define hasta múltiplos de $ 2 pi $: $$ | z | e ^ {i theta} = | z | e ^ {i ( theta + k2 pi)} $$ para todos los $ k in mathbb {Z} $. Por lo tanto, el logaritmo complejo solo se define hasta múltiplos de $ 2 pi i $!
Por ejemplo: $$ log (x) = log (| x | e ^ {i frac {3} {2} pi}) = log (| x |) + log (e ^ {i frac {3} {2} pi}) = log (| x |) + i frac {3} {2} pi, $$ o tal vez $$ log (x) = log (| x | e ^ {- i frac {177} {2} pi}) = log (| x |) + log (e ^ {- i frac {177} {2} pi}) = log ( | x |) – i frac {177} {2} pi. $$ Pero claramente $ pi neq frac {3} {2} pi neq – frac {177} {2} pi $ . El punto es: el logaritmo complejo no es una función, sino lo que llamamos una función multivalor. Para convertirlo en una función adecuada, debemos restringir lo que se permite que sea $ theta $, por ejemplo $ theta in (- pi, pi]$. Esto se llama logaritmo complejo principal y generalmente se indica con $ operatorname {Log} $ (L mayúscula).
Técnicamente, no importa a qué rango restrinja $ theta $, siempre que el logaritmo resultante sea una función adecuada (no una función multivalor) y eres consistente en tu restricción de $ theta $. Por ejemplo, se puede obtener la siguiente “prueba” si es descuidado: begin {align} e ^ { pi i} = -1 & implica (e ^ { pi i}) ^ 2 = (-1 ) ^ 2 & text {(cuadrar ambos lados)} \ & implica e ^ {2 pi i} = 1 & text {(calcular los cuadrados)} \ & implica log (e ^ {2 pi i}) = log (1) & text {(toma el logaritmo)} \ & implica 2 pi i = 0 & text {(calcula los logaritmos)} end {align} Claramente esto es ¡incorrecto!
Ligeramente irónico, pero parcialmente en serio, voy a decir “magia”.
Lo que quiero decir es que antes de hablar de $ ln -k $ para un número negativo tenemos que definir qué diablos podría significar tener $ e ^ {m} = -k $. No hay un significado “natural” para eso y los matemáticos, en un sentido, deben idear un significado para ello. Si nuestro universo son los números reales, entonces esto es … imposible. Si $ b> 0 $ entonces $ b ^ x> 1 $ y $ e ^ x $ siendo negativo es simplemente imposible.
Pero, ¿y si nuestro universo son los números complejos? Entonces, si $ z = a + bi $ ($ i ^ 2 = -1 $), ¿qué podría significar $ e ^ {a + bi} $? Después de todo, no podemos simplemente “multiplicar $ e $ por sí mismo la raíz cuadrada del negativo una vez”.
Bueno, sabemos que para los números reales, $ e ^ {x + y} = e ^ xe ^ y $ y $ frac {de ^ x} {dx} = e ^ x $. Para que esto siga siendo cierto tanto para números complejos como para números reales, la única forma de definir $ e ^ {z} $ donde $ z $ es un número complejo, de modo que $ e ^ {z + w} = e ^ ze ^ w $ y entonces $ frac {d ^ z} {dz} $ el solamente Para que eso sea cierto, tenemos que definir $ e ^ {a + bi} = e ^ a ( cos b + i sin b) $.
Bueno. Eso fue … mucho movimiento de manos. Pero funciona y si estudias un análisis complejo, se derivará con gran detalle. PERO esto significa….
$ e ^ {i pi} = e ^ {0 + i pi} = e ^ 0 ( cos pi + i sin pi) = 1 * (- 1 + i * 0) = -1 $.
Esta es la Fórmula de Euler, una de las fórmulas matemáticas más famosas de la historia.
De repente, $ e ^ z $ siendo un número negativo no es imposible. Pero si $ e ^ z $ es negativo, entonces necesitamos tener $ e ^ {z} = e ^ {a + bi} = e ^ a ( cos b + i sin b) $ entonces $ cos b + i sin b $ es un número negativo. Eso significa $ b = pi $. Entonces $ z = i pi $.
Entonces esto significa $ ln -1 * x = ln -1 + ln x = i pi + ln x $.
Y de ahí viene $ pi $. Cuando definimos $ e ^ {a + bi} = e ^ a ( cos b + i sin b) $, los exponentes se vinculan completamente con funciones trigonométricas. Como tal, $ pi $ es una parte esencial de la inversa.
Solo para los números reales y los registros de números reales positivos únicamente, no tenemos que preocuparnos porque $ e ^ x = e ^ {x + 0 * i} = e ^ x ( cos 0 + i sin 0) = e ^ x (1 + i * 0) = e ^ x = k $ y $ ln k = x $ y $ pi $ no son relevantes.