Al fin luego de mucho trabajar ya hallamos el resultado de esta interrogante que tantos lectores de nuestro espacio tienen. Si tienes algo más que compartir no dudes en aportar tu conocimiento.
Solución:
Prueba este enlace. Muchas funciones simples, por cierto 🙂
http://calculus-geometry.hubpages.com/hub/List-of-Functions-You-Cannot-Integrate-No-Antiderivatives
Como se dijo en el comentario a continuación, el enlace no funciona ahora.
Aún así, no se pudo eliminar nada de Internet de forma permanente.
http://web.archive.org/web/20160612175604/http://hubpages.com:80/education/List-of-Functions-You-Cannot-Integrate-No-Antiderivatives
De hecho, el teorema de Liouville caracteriza exactamente funciones cuyas antiderivadas pueden expresarse en términos de funciones elementales.
Sin embargo, la única prueba que he visto no es exactamente adecuada para enseñar a estudiantes principiantes de cálculo. De hecho, la prueba de la imposibilidad de resolver un polinomio general de quinto grado por radicales (de Galois) y la prueba del teorema de Liouville comparten una idea común. (El teorema de Liouville es parte de lo que se llama teoría diferencial de Galois)
Si está preparado para analizar un poco la teoría diferencial de Galois para llegar a la prueba, puede leer las notas de RCChurchill disponibles aquí.
También puede probar la presentación de Pete Goetz aquí, que asume el teorema de Liouville y demuestra que el gaussiano no tiene una antiderivada elemental.
Nota: Probar que una determinada función no tiene una antiderivada elemental es a menudo bastante difícil y se reduce al problema de mostrar que una determinada ecuación diferencial no tiene solución.
No he visto muchos ejemplos de tales funciones, y no conozco una referencia que lo pruebe para todas las funciones enumeradas en la respuesta anterior por sas.
Esta respuesta es un esfuerzo por recopilar todas las integrales no elementales conocidas en una publicación wiki de la comunidad para que pueda complementarse dinámicamente y para que también se puedan incluir enlaces a pruebas. Incluiré algunas de las otras integrales mencionadas en las otras respuestas. Esto también sirve para proporcionar una copia de seguridad en caso de que las listas relevantes caigan.
Por simplicidad, dejemos $ T (x) = sin x, cos x, tan x $ ser cualquier función trigonométrica e igualmente $ T ^ – 1 (x) = sin ^ – 1 x, cos ^ – 1 x, tan ^ – 1 x $. La lista está ordenada de modo que todas las funciones, incluidas $ ln $ están en la sección $ 2 $ o más allá, todas las funciones incluidas $ e ^ x $ en la sección $ 3 $ o más allá, y así sucesivamente.
Abreviaturas:
- SLT: Teorema fuerte de Liouville.
0. Casos generales
- Por integración por sustitución, si $ f (x) $ tiene una antiderivada no elemental, entonces también la tiene $ f ( lambda x) $, dónde $ lambda in mathbb R, lambda ne0 $.
1. Funciones de tipo algebraico
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$ p (x) ^ 1 / n $ para cualquier $ n in mathbb Z, n> 2 $ dónde $ p $ es un polinomio de grado mayor que $ 2 $, excepto cuando $ p $ es una potencia de un polinomio o cuando el radical se puede simplificar. Esto incluye $ sqrt p (x) $, dónde $ p $ es un polinomio sujeto a las restricciones relevantes. (1)
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Algunas curvas de Lamé, $ L (x) = (1 ± x ^ m) ^ 1 / n $, dónde $ m $ y $ n $ son los números (¿de qué conjunto?) mayores que $ 1 $, y no $ m = n = 2 $. Esto incluye $ (1 – x ^ 3) ^ 1/3 $, $ (1 – x ^ 4) ^ 1/2 $, $ (1 + x ^ 2) ^ 1/4 $ y $ (1 + x ^ 4) ^ 1/2 $. Véase también Wikipedia: Integral elíptica. (1, 4, 7 pág.6)
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$ (1 ± x ^ m) ^ – 1 / n $ dónde $ m $ y $ n $ son los números (¿en qué conjunto?) mayores que $ 1 $, excepto el caso donde $ m = n = 2 $. (1)
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$ x ^ p (a + bx ^ r) ^ q $, donde ninguno de $ frac p + 1 r, q $, ni $ izquierda ( frac p + 1 r + q derecha) $ son enteros (prueba: teorema de Chebyshev). Esto incluye $ sqrt 1 + x ^ 3 $ y $ sqrt 1 + x ^ – 4 $. (3, 7 pág.10)
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$ Displaystyle frac x sqrt 1-x ^ 2 $. (7 pág.6)
2a. Funciones de tipo logaritmo
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$ Displaystyle frac p (x) ln x $, dónde $ p $ es un polinomio distinto de cero. Esto incluye $ Displaystyle frac x ln x $ y $ Displaystyle frac 1 ln x $ (prueba: SLT). Véase también Wikipedia: Integral logarítmica. (1, 5, 7 págs. 6, 10)
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$ Displaystyle frac ln x p (x) $, dónde $ p $ es un polinomio no constante y no un monomio como $ x ^ n $. Esto incluye $ Displaystyle frac ln x x pm 1 $. (1)
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$ ln left (p (x) + q (x) right) $, dónde $ p, q $ son polinomios no constantes y no potencias de la misma función lineal, por ejemplo, $ p (x) = (2x-5) ^ 3 $ y $ q (x) = (2x-5) ^ 7 $. (1)
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$ estilo de visualización frac ln p (x) ln q (x) $, dónde $ p, q $ son polinomios no constantes y no potencias del mismo polinomio, por ejemplo, $ p (x) = (x ^ 2 + 3) ^ 2 $ y $ q (x) = (x ^ 2 + 3) ^ 9 $. (1)
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$ Displaystyle frac 1 ln x + x $. (1)
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$ ln ln x $. (1, 7 pág.6)
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$ sqrt 1 ± ln (x) $ y $ sqrt x ± ln (x) $. (1)
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$ Displaystyle frac 1 ln ^ 2x-x ^ 2 $. (7 pág.6)
2b. Funciones de tipo exponencial
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$ Displaystyle e ^ pm x ^ n $ para todos $ n in mathbb Z, n ne 0,1 $. Esto incluye $ Displaystyle e ^ pm x ^ 2 $ (prueba: SLT, bosquejo de prueba: (8)) y $ Displaystyle e ^ pm x ^ 3 $. Consulte también Wikipedia: Función de error. (1, 3, 7 págs. 3, 10)
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$ e ^ x ^ alpha $ por $ alpha ge 2 $. Esto incluye $ Displaystyle e ^ pm x ^ 2 $. (2, 6)
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$ Displaystyle e ^ pm e ^ x $. (1)
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$ Displaystyle frac e ^ x p (x) $ dónde $ p $ es “un polinomio” (presumiblemente distinto de cero o de grado $ 1 $ ¿o mas alto?). Esto incluye $ Displaystyle frac e ^ x x $ (prueba: SLT, bosquejo de prueba: (8)) y $ Displaystyle frac e ^ x x ^ 2 $. (1, 3, 7 págs. 3, 10)
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$ x ^ alpha e ^ x $, dónde $ alpha notin mathbb Z ^ + _ 0 $. Esto incluye $ sqrt x e ^ x $. (1)
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$ Displaystyle frac p (x) + e ^ x q (x) + e ^ x $, dónde $ p, q $ “son polinomios” (presumiblemente distintos de cero, pero ¿en qué grado?) y dónde $ p $ no es la derivada de $ q $. Esto incluye $ Displaystyle frac x 1 + e ^ x $ y $ Displaystyle frac 1 x + e ^ x $. (1)
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$ Displaystyle e ^ p (x) / q (x) $, dónde $ p, q $ son polinomios distintos de cero (de cierto grado? tales que $ q $ no divide $ p $?). (1)
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$ sqrt x ± e ^ x $. (1)
3a. Funciones de tipo exponencial / logaritmo
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$ Displaystyle e ^ x ln x $ y $ xe ^ x ln x $. (1)
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$ Displaystyle frac e ^ x ln x $ y $ Displaystyle frac ln x e ^ x $. (1)
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$ Displaystyle e ^ sqrt ln x $. (1)
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$ x ^ x = e ^ x ln x $. Boceto de prueba: (8). (3)
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$ ln (p (x) ± e ^ x) $, dónde $ p (x) $ es un polinomio distinto de cero. Esto incluye $ ln (1 ± e ^ x) $, donde tenemos $ grados (p) = 0 $. (1)
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$ xe ^ x ^ 3/3 $. (7 pág.6)
3b. Funciones de tipo trigonométrico
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$ T (x ^ alpha) $, dónde $ alpha $ es una constante pero $ alpha ne 0 $ y $ frac 1 alpha $ no es un número entero. Esto incluye $ sin (x ^ 2) $ y $ cos (x ^ 2) $. Véase también Wikipedia: integral de Fresnel. Las excepciones a esta regla que tienen integrales elementales incluyen $ sin ( sqrt x) $, como $ frac1 alpha = 2 $. (1, 7 pág.6)
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$ x ^ alpha T (x) $, dónde $ alpha ne 0 $, excepto cuando $ T (x) = sin x, cos x $ y $ alpha in mathbb Z ^ + _ 0 $. Esto incluye $ sqrt x sin x $, $ sqrt x cos x $, $ x tan x $ y $ Displaystyle frac T (x) x $, tal como $ Displaystyle frac sin x x $. Véase también Wikipedia: Integral de seno y Integral de coseno. Prueba: SLT, croquis de prueba: (8). (1, 3, 5, 7 p.3)
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$ Displaystyle frac x T (x) $. (1)
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$ Displaystyle frac 1 T (x) + x $. (1)
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$ ln T (x) $, $ e ^ T (x) $, y $ T (e ^ x) $. (1)
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$ T_1 (T_2 (x)) $, dónde $ T_1 (x), T_2 (x) = sin x, cos x, tan x $. Esto incluye $ sin ( sin x) $, $ cos ( tan x) $, etc. (1)
Dejar $ S (x) = sin x, cos x $, es decir, $ S (x) $ es una función trigonométrica que es explícitamente no$ tan x $.
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$ sqrt S (x) $ (prueba: teorema de Chebyshev). De hecho $ sqrt tan x $ tiene una integral elemental. (1, 7 pág.11)
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$ sqrt S (x) + lambda $, dónde $ lambda ne 1 $ es una constante. (1)
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$ sqrt 1 + x ^ 2 S (x) $. (7 pag. 6)
Casos individuales.
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$ Displaystyle frac sqrt sin x x $. (3)
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$ cosh (x ^ alpha) $, dónde $ alpha ge 2 $. (6)
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$ tan sqrt x $. (1)
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$ x ^ 2 cos (x ^ 2) $. (7 pág.6)
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$ sqrt 2- sin ^ 2x $. (7 pág.6)
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$ sqrt 1-k ^ 2 sin ^ 2x $. (7 pág.6)
3c. Funciones de tipo trigonométrico inverso
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$ Displaystyle frac1 T ^ – 1 (x) $. Boceto de prueba: (8). (1)
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$ Displaystyle frac T ^ – 1 (x) x $ y $ Displaystyle frac x T ^ – 1 (x) $. (1)
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$ T ^ – 1 (e ^ x) $ y $ T ^ – 1 ( ln x) $. (1)
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$ Displaystyle e ^ sin ^ – 1 ln x $ y $ Displaystyle e ^ cos ^ – 1 ln x $. (1)
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$ Displaystyle e ^ tan ^ – 1 x $. (1)
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$ T ^ – 1 (x ^ 2) $, dónde $ T ^ – 1 ne tan ^ – 1 x $. (1)
Referencias y abreviaturas
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Hubpages – Lista de funciones sin antiderivadas.
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UCR – Funciones con integrales indefinidas no elementales.
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Sosmath
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Mathworld
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Nijimbere – Evaluación de algunas integrales no elementales que involucran integrales seno, coseno, exponencial y logarítmica: Parte I.
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Nijimbere – Evaluación de la integral no elemental $ int e ^ λx ^ α dx $,$ α≥2 $y otras integrales relacionadas.
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Dharmendra Kumar Yadav: un estudio sobre funciones no elementales
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Pregunta MSE 265780.
Si estás de acuerdo, eres capaz de dejar una división acerca de qué te ha parecido este ensayo.