Nuestro grupo de expertos luego de muchos días de investigación y de juntar de datos, obtuvimos la respuesta, esperamos que te resulte útil para tu trabajo.
Solución:
Este es un error muy común y, francamente, no entiendo por qué los estudiantes tienden a cometer tales errores. Quizás la mayoría de la gente cree que no hay reglas en el cálculo. Al igual que en la manipulación algebraica, uno es consciente del hecho de que la suma es conmutativa pero la división no, también hay reglas para los límites y uno tiene que trabajar de acuerdo con esas reglas únicamente. No existe una regla específica que nos permita reemplazar $4/x$ con $0$. Así que tal manipulación no está justificada. La idea de que los límites se pueden evaluar utilizando técnicas de movimiento de manos basadas en argumentos como “algo es insignificante en comparación con otra cosa” debe descartarse seriamente.
Recuerda que el significado de la ecuación $$lim_xtoinfty frac4x=0$$ es no es que cada vez que vea la expresión $4/x$ (como parte de una evaluación de límite como $xto infty$) pueda reemplazarla por $0$ sino que la ecuación simplemente significa que cada vez que vea la expresión $limlimits_xtoinfty dfrac4x$ puede reemplazarla por $0$.
También tenga en cuenta que la técnica habitual para este problema es multiplicar por conjugado para obtener el límite como $$-lim_xtoinfty frac4sqrt1-(4/x)+1 $$ Al contrario de lo que muchos principiantes creen no ignoramos simplemente $4/x$ y obtenemos la respuesta como $-2$. Más bien trabajamos de acuerdo con las leyes del álgebra de límites. El primer paso es analizar el denominador. Tenga en cuenta que tenemos $$lim_xtoinfty 1-frac4x=1- lim_xtoinfty frac4x=1-0= 1$$ y como la función raíz cuadrada es continua en $1$ obtenemos $$lim_xtoinfty sqrt1-(4/x)=sqrtlim_xtoinfty (1-(4/x))=sqrt1=1$$ Y luego $$lim_xtoinftysqrt1-(4/x)+1=1+ 1=2$$ Por lo tanto, el denominador tiende a un límite distinto de cero y, por lo tanto, el límite deseado es $-4/2$. Todos estos pasos están justificados por una conocida regla de álgebra de límites. Todo el trabajo parece que acabamos de ignorar $4/x$, pero en realidad muchas leyes funcionan tras bambalinas para dar el efecto de ignorar $4/x$.
Si no multiplicamos por conjugado y en su lugar nos enfocamos en la expresión $$lim_xtoinfty x(sqrt1-(4/x)-1)$$ entonces tenemos un problema ya que no puede usar la regla del producto de límites para escribir lo anterior como $$lim_xtoinfty xcdotlim_xtoinfty (sqrt1-(4/x)- 1)$$ y no tenemos otra forma de proceder a menos que apliquemos alguna manipulación algebraica en la expresión por debajo del límite.
Normalmente, uno no necesita preocuparse por todos estos detalles al evaluar los límites paso a paso. Pero debemos tener en cuenta las limitaciones del álgebra de límites. Puede echar un vistazo a esta respuesta que brinda el quid de estas leyes de límite en una forma muy útil/simple.
Tenga en cuenta que $$lim_xto a f(x)g(x) = lim_x to a f(x) cdot lim_xto a g(x)$$ cuando ambos límites ($lim_x to a f(x)$ y $lim_x to a g(x)$) existen y son finitos. En tu caso, no podemos aplicar la fórmula anterior ya que uno de los límites es infinito.
$$lim_x to infty x(sqrt 1 – 4/x – 1) neq lim_x to to infty x cdot lim_x to infty( sqrt 1 – 4/x – 1).$$
El problema es que mientras $sqrt1-frac4x-1$ se está acercando a $0$, el factor $x$ se está volviendo ilimitadamente grande. Por lo tanto, no está claro qué sucederá. Este tipo de límite se llama forma indeterminada precisamente por esa razón.
Un ejemplo más simple del mismo tipo de cosas es:
$lim_xtoinfty(xcdot frac1x)$.
El segundo factor, $frac1x$, va a $0$ (tal como en tu ejemplo), pero el primer factor se vuelve ilimitadamente grande. Claramente, en este ejemplo, el límite es $1$, no $0$.
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