Solución:
(Extraído de una versión anterior de una guía de estudio de textos lógicos de manera más general; encontrará la última versión aquí: http://www.logicmatters.net/students/tyl/)
Las meras listas son poco interesantes e inútiles. ¡Así que seamos un poco más selectivos!
Ciertamente deberíamos distinguir los libros que cubren el elementos de la teoría de conjuntos, los comienzos que todo el mundo debería conocer, desde los que asumen Temas avanzados como ‘grandes cardenales’, pruebas mediante forzamiento, etc.
Sobre el elementos, dos tratamientos estándar excelentes de ‘nivel de entrada’ son
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Herbert B. Enderton, Los elementos de la teoría de conjuntos (Academic Press, 1997) es particularmente claro al señalar el desarrollo informal de la teoría de conjuntos, cardinales, ordinales, etc. (guiado por la concepción de conjuntos construidos en una jerarquía acumulativa) y la axiomatización formal de ZFC. También es particularmente bueno y no confuso acerca de lo que está involucrado en la conversación (aparente) de clases que son demasiado grandes para ser conjuntos, algo que puede desconcertar a los principiantes.
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Derek Goldrei, Teoría clásica de conjuntos (Chapman & Hall / CRC 1996) está escrito por un tutor de la Open University en el Reino Unido y tiene el subtítulo “Para un estudio independiente guiado”. Como cabría esperar, es extremadamente claro y, de hecho, está muy bien estructurado para una lectura independiente.
Aún comenzando desde cero, e inicialmente solo medio nivel en sofisticación, encontramos dos libros más realmente agradables (también lo suficientemente utilizados para ser considerados “estándar”, sea lo que sea exactamente lo que eso signifique):
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Karel Hrbacek y Thomas Jech, Introducción a la teoría de conjuntos (Marcel Dekker, 3ª edición, 1999). Esto va un poco más lejos que Enderton o Goldrei (más en la 3ª edición que en las anteriores). El capítulo final da una visión notablemente accesible hacia adelante hacia grandes axiomas cardinales y pruebas de independencia.
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Yiannis Moschovakis, Notas sobre la teoría de conjuntos (Springer, 2da edición de 2006). Un camino un poco más individual a través del material que los libros mencionados anteriormente, nuevamente con destellos por delante y nuevamente escrito de manera atractiva.
Mi siguiente recomendación puede ser un poco sorprendente, ya que es algo así como una ‘explosión del pasado’: pero no ignore los viejos clásicos: pueden tener mucho que enseñarnos incluso si hayamos leído los libros modernos:
- Abraham Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel y Azriel Levy, Fundamentos de la teoría de conjuntos (Holanda Septentrional, segunda edición 1973). Esto coloca el desarrollo de nuestra teoría canónica de conjuntos ZFC en algún contexto y también analiza enfoques alternativos. Realmente es de lectura atractiva. No soy un entusiasta de la historia por la historia, pero vale mucho la pena conocer las historias que se desarrollan aquí.
Una característica intrigante de ese último libro es que no enfatiza en absoluto la ‘jerarquía acumulativa’: la imagen del universo de conjuntos tal como se construye en una jerarquía de niveles, cada nivel contiene todos los conjuntos en niveles anteriores más los nuevos. (por lo que los niveles son acumulativos). Esta imagen, hoy familiar para todos los principiantes, vuelve a aparecer en primer plano en
- Michael Potter, Teoría de conjuntos y su filosofía (OUP, 2004). Para los matemáticos preocupados por cuestiones fundamentales, esto seguramente es, en algún momento, una ‘lectura obligada’, una combinación única de exposición matemática (principalmente sobre el nivel de Enderton, con algunos destellos más allá) y un extenso comentario conceptual. Potter no presenta ZFC directo, sino una variante muy atractiva debido a Dana Scott, cuyos axiomas encapsulan más directamente la idea de la jerarquía acumulativa de conjuntos.
Volviendo ahora a Temas avanzados Dos libros que se eligen a sí mismos como clásicos son
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Kenneth Kunen, Teoría de conjuntos (Holanda Septentrional, 1980), particularmente para las pruebas de independencia.
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Thomas Jech, Teoría de conjuntos: The Third Millenium Edition (Springer 2003), por todo.
Y luego hay algunos libros avanzados maravillosos con un enfoque más limitado (como el de Bell en Teoría de conjuntos: modelos con valor booleano y pruebas de independencia). Pero esto ya es lo suficientemente largo y, de hecho, si puede hacer frente a la Biblia de Jech, ¡podrá encontrar su propio camino entre la abundante literatura!
Aquí hay algunos libros que no están incluidos en su lista.
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Kunen ha reescrito completamente su texto. Teoría de conjuntos: una introducción a las pruebas de independencia. Ver Amazon. Contiene mucho material nuevo.
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Holz, Steffens, Weitz, Introducción a la aritmética cardinal. El primer capítulo (unas 100 páginas) de este libro es una muy buena introducción a la teoría de conjuntos. Uno de los mejores que he visto.
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Just y Weese tienen una introducción en dos volúmenes publicada por AMS. El segundo volumen es un segundo plato muy bueno si te gusta su estilo conversacional.
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Pato, Teoría de conjuntos, una introducción a los grandes cardenales. Contiene material introductorio y algunos temas avanzados.
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Drake, Singh, Teoría de conjuntos intermedios. Si mal no recuerdo, este libro contiene un desarrollo detallado de la teoría de conjuntos y la constructibilidad.
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Hay una nueva edición de Dover de Smullyan, Fitting, La teoría de conjuntos y el problema del continuo. Este libro tiene un enfoque no estándar para diferentes temas.
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La nueva edición de Dover de Lévy’s Teoría básica de conjuntos contiene una errata que no está disponible en la versión anterior.
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El nuevo libro de Schimmerling, Un curso de teoría de conjuntos, parece una bonita y compacta introducción.
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Henle, Un bosquejo de la teoría de conjuntos
es un texto orientado a problemas. Tiene una sección sobre el teorema de Goodstein.
Cinco textos clásicos que siguen vigentes en la actualidad:
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Sierpiński, Números cardinales y ordinales. Una colección muy rica de resultados sobre aritmética ordinal y cardinal.
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Kuratowski, Mostowski, Teoría de conjuntos. ¿La vieja biblia de la teoría de conjuntos?
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Heinz Bachmann, Zahlen transfinito. Desafortunadamente, no sé nada de alemán. Hasta donde tengo entendido, este libro contiene algunos resultados que no se encuentran en el libro de Sierpinski.
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Cohen, La teoría de conjuntos y la hipótesis del continuo. Supongo que el último capítulo sobre forzar está bastante anticuado. Pero los capítulos anteriores son reveladores.
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Erdős, Hajnal, Máté, Rado, Teoría combinatoria de conjuntos: relaciones de partición para cardenales. Este es un libro más especializado con una revisión rápida de los conceptos básicos. Parece que este libro todavía está publicado: enlace de Amazon.
También hay algunos textos en línea disponibles. Recuerdo haber visto notas de Steve Jackson, J. Donald Monk y Sy Friedman, entre otros.
Usé el libro Teoría de conjuntos de Andras Hajnal y Peter Hamburger y tuve la impresión (ya que estaba tomando la clase durante un programa en Hungría) de que era un libro común allí. Tiene una buena introducción a la teoría de conjuntos ingenua y también muchos temas más avanzados en la teoría de conjuntos combinatoria.
Un enlace al libro está aquí.