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Ley de cancelación en un ring sin unidad

Esta inquietud se puede abordar de diferentes maneras, sin embargo te enseñamos la solución más completa en nuestra opinión.

Solución:

Sin embargo, si nuestro anillo no contiene la unidad, pero se cumple la ley de cancelación, ¿qué podemos hacer con la ecuación $a^2=a$?

En un anillo que satisface la cancelación en ambos lados, $a$ solo puede ser una de dos cosas: $0$, o bien la identidad del anillo.

Obviamente, $0$ satisface $0^2=0$, y si $a$ es distinto de cero y satisface $a^2=a$, entonces $a(ar-r)=(ra-r)a=0$ para $r arbitrario $, con lo cual debe concluir que $ar=r=ra$ para todo $r$, y que $a$ es la identidad.

Por supuesto, dependiendo de su anillo, $0$ puede ser el único elemento que satisface $a^2=a$ (como el anillo $(X)$ dentro del anillo $F[X]ps

Lo que sugiere la “paradoja” es que en un anillo con cancelación y sin elemento de identidad, la única solución a la ecuación $x^2 = x$ es $x=0$.

Si hay una solución distinta de cero $a$ para esa ecuación entonces para cualquier $b$ en el anillo $$ 0 = (a^2 – a)b = a^2 b – ab $$ entonces $$ a^2 b = ab $$ Entonces cancelar $a$ implica $$ ab = b . $$ El mismo argumento funciona para la multiplicación correcta, por lo que $a$ es (por lo tanto, la) identidad multiplicativa.

La definición habitual de un dominio integral requiere un elemento de identidad. https://en.wikipedia.org/wiki/Integral_domain.

Es posible que un anillo sin unidad no tenga divisores de cero distintos de cero.

Por ejemplo, sea $R$ el $(2)$ ideal de $mathbbZ$. Entonces $R$ es un anillo sin identidad multiplicativa y sin divisores de cero distintos de cero.

Para un ejemplo finito, sea $R$ el $(2)$ ideal de $mathbbZ_6$. Entonces, una vez más, $R$ es un anillo sin identidad multiplicativa y sin divisores de cero distintos de cero.

Para los ejemplos anteriores, dada la falta de divisores de cero distintos de cero, obtenemos una ley de cancelación:

$;;smallbullet;,$Si $ab=ac$ y $a ne 0$, entonces $b=c$.

Sin embargo, como aclaran las respuestas de rschwieb y Ethan Bolker, si un anillo $R$ tiene un elemento idempotente distinto de cero $a$ (es decir, un elemento $a;$tal que $a^2=a$, y $a ne 0$), luego el elemento $a$ deber sea ​​una identidad multiplicativa para $R$.

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