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Solución:
No es un problema porque dos de las ocho ecuaciones son restricciones y no son del todo independientes de las seis restantes.
Las ecuaciones de restricción son las escalares, $$ rm div , , vec D = rho, qquad rm div , , vec B = 0 $$ Imagine $ vec D = epsilon_0 vec E $ y $ vec B = mu_0 vec H $ en todas partes por simplicidad.
Si estas ecuaciones se satisfacen en el estado inicial, se cumplirán inmediatamente en todo momento. Esto se debe a que las derivadas en el tiempo de estas ecuaciones no dinámicas (“no dinámicas” significa que no están diseñadas para determinar las derivadas en el tiempo de los campos en sí mismas; en realidad, no contienen derivadas en el tiempo) se pueden calcular a partir de las 6 ecuaciones restantes. . Simplemente aplique $ rm div $ en las 6 ecuaciones de componentes restantes, $$ rm curl , , vec E + frac partial vec B partial t = 0, qquad rm rizo , , vec H- frac parcial vec D parcial t = vec j. $$ Cuando aplica $ rm div $, los términos de curl desaparecen porque $ rm div , , rm curl , , vec V equiv 0 $ es una identidad y obtiene $$ frac parcial ( rm div , , vec B) parcial t = 0, qquad frac parcial ( rm div , , vec D ) t parcial = – rm div , , vec j. $$ La primera ecuación implica que $ rm div , , vec B $ permanece cero si fuera cero en el estado inicial. La segunda ecuación se puede reescribir usando la ecuación de continuidad para $ vec j $, $$ frac partial rho partial t + rm div , , vec j = 0 $$ ( es decir, estamos asumiendo que esto es válido para las fuentes) para obtener $$ frac partial ( rm div , , vec D- rho) partial t = 0 $$ entonces $ rm div , , vec D- rho $ también permanece cero en todo momento si es cero en el estado inicial.
Permítanme mencionar que entre las ecuaciones de Maxwell de 6 + 2 componentes, 4 de ellas, las que involucran $ vec E, vec B $, pueden resolverse escribiendo $ vec E, vec B $ en términos de cuatro componentes $ Phi, vec A $. En este lenguaje, solo nos quedan las 4 ecuaciones de Maxwell restantes. Sin embargo, solo 3 de ellos son realmente independientes en cada momento, como se muestra arriba. Eso también está bien porque los cuatro componentes de $ Phi, vec A $ no están del todo determinados: uno de estos componentes (o una función) puede ser cambiado por la invariancia de indicador de 1 parámetro $ U (1) $.
I) Permítanos, por diversión, generalizar la pregunta de OP a las dimensiones del espacio-tiempo $ n $, y comprobar cómo se cuentan las ecuaciones. y los grados de libertad (dof) funcionan en este entorno general. Usaremos la respuesta de Lubos Motl como modelo para esta parte. También usaremos una notación $ (-, +, ldots, +) $ relativista especial con $ c = 1 $, donde $ mu, nu in 0, ldots, n-1 $ denotan índices de espacio-tiempo, mientras que $ i, j in 1, ldots, n-1 $ denotan índices espaciales. Maxwell ecs. son los siguientes.
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Identidades de Bianchi sin fuente: $$ rm d F ~ = ~ 0 qquad qquad Leftrightarrow qquad qquad sum _ rm cycl. ~ Mu, nu, lambda d _ lambda F _ mu nu ~ = ~ 0, qquad qquad F ~: = ~ frac 1 2 F _ mu nu ~ rm d x ^ mu wedge rm d x ^ nu. $$ Aquí $$ left ( begin array c n cr 3 end array right) rm ~ Bianchi ~ identities ~ = ~ left ( begin array c n-1 cr 3 end array right) rm ~ restricciones ~ + ~ left ( begin array c n-1 cr 2 end array right) rm ~ eqs ~ dinámicas $$ $$ ~ = ~ ( rm No ~ eqs ~ monopolos ~ magnéticos ~) ~ + ~ ( rm la ~ ley de Faraday). $$
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Maxwell ecs. con términos fuente: $$ d _ mu F ^ mu nu ~ = ~ -j ^ nu. $$ Aquí $$ n rm ~ fuente ~ eqs. ~ = ~ 1 rm ~ restricción ~ + ~ (n-1) rm ~ eqs ~ dinámicas $$ $$ ~ = ~ ( rm ~ ley de Gauss) ~ + ~ ( rm ~ ley ~ de Ampere ~ con ~ desplazamiento ~ término). $$
Hemos utilizado la terminología de que ecuación dinámica contiene derivadas de tiempo, mientras que un restricción no. Entonces, el número de ecuaciones dinámicas. es
$$ left ( begin array c n-1 cr 2 end array derecha) ~ + ~ (n-1) ~ = ~ izquierda ( begin array c n cr 2 end array derecha), $$
que coincide exactamente
$$ rm el ~ número ~ left ( begin array c n cr 2 end array right) rm ~ of ~ F _ mu nu rm ~ fields $$ $$ ~ = ~ left ( begin array c n-1 cr 2 end array right) ~ rm campos ~ magnéticos ~ F_ ij ~ + ~ (n-1) rm ~ campos ~ eléctricos ~ F_ i0. $$
Maxwell ecs. con términos fuente implica la continuidad eq.
$$ d _ nu j ^ nu ~ = ~ -d _ nu d _ mu F ^ mu nu ~ = ~ 0, qquad qquad F ^ mu nu ~ = ~ -F ^ nu mu, $$
por lo que uno debe exigir que las fuentes de fondo $ j ^ nu $ obedezcan la ecuación de continuidad.
Por coherencia, la derivada temporal de cada una de las restricciones debería desaparecer. En el caso de las ecuaciones monopolo no magnéticas, esto se sigue de la ley de Faraday. En el caso de la ley de Gauss, esto se sigue de la ley de Ampere modificada y la ecuación de continuidad.
II) La sección anterior (I) hizo el recuento en términos de $ left ( begin array c n cr 2 end array right) $ intensidades de campo $ F _ mu nu $. En términos de los potenciales de calibre $ n $ $ A _ mu $, el conteo es el siguiente. Las identidades Bianchi ahora están trivialmente satisfechas,
$$ F ~ = ~ rm d A qquad qquad A ~: = ~ A _ mu ~ rm d x ^ mu. $$
Todavía existen las ecuaciones de $ n $ Maxwell. con términos fuente
$$ ( Box delta ^ mu _ nu -d ^ mu d _ nu) A ^ nu ~ = ~ -j ^ mu, qquad qquad Box ~: = ~ d _ mu d ^ mu. $$
Hay un solo indicador dof debido a la simetría del indicador $ A a A + rm d Lambda $ y $ F a F $. Si un indicador se arregla usando la condición de indicador de Lorenz
$$ d _ mu A ^ mu ~ = ~ 0, $$
las ecuaciones de Maxwell. se convierten en ecuaciones de onda desacopladas de $ n $
$$ Box A ^ mu (x) ~ = ~ -j ^ mu (x). $$
Mediante una transformación espacial de Fourier, estos se convierten en EDO lineales de segundo orden desacopladas con coeficientes constantes,
$$ (d ^ 2_t + vec k ^ 2) hat A ^ mu (t; vec k) ~ = ~ hat j ^ mu (t; vec k), $$
que, a partir de un tiempo inicial $ t_0 $, puede resolverse para todos los tiempos $ t $, cf. Pregunta de OP. [One should check that the solution
$$hatA^mu(t;veck)
~=~int rm d t^prime ~G(t-t^prime;veck)~hatj^mu(t^prime;veck), qquadqquad
(d^2_t+veck^2)G(t-t^prime;veck)~=~delta(t-t^prime),$$
satisfies the Lorenz gauge condition. This follows from the continuity eq.]
III) Es interesante derivar la solución completa $ tilde A ^ mu (k) $ en $ k ^ nu $ – espacio de impulso sin fijación de calibre. Las ecs. De Maxwell transformadas por Fourier. leer
$$ M ^ mu _ nu ~ tilde A ^ nu (k) ~ = ~ tilde j ^ mu (k), qquad qquad M ^ mu _ nu ~: = ~ k ^ 2 delta ^ mu _ nu -k ^ mu k _ nu. $$
Para continuar, se debe analizar la matriz $ M ^ mu _ nu $ en busca de $ k ^ lambda $ fijos. Hay tres casos.
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Modo constante $ k ^ mu = 0 $. Entonces la matriz $ M ^ mu _ nu = 0 $ desaparece de manera idéntica. Maxwell ecs. solo es posible satisfacer si $ tilde j ^ mu (k = 0) = 0 $ es cero. El potencial de calibre $ tilde A _ mu (k = 0) $ no está restringido en absoluto por las ecuaciones de Maxwell, es decir, hay una solución completa de parámetros $ n $.
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Caso masivo $ k ^ 2 neq 0 $. La matriz $ M ^ mu _ nu $ es diagonalizable con valor propio $ k ^ 2 $ (con multiplicidad $ n-1 $) y valor propio $ 0 $ (con multiplicidad $ 1 $). Este último corresponde a un modo indicador puro $ tilde A ^ mu ~ propto ~ k ^ mu $. La solución completa es una solución de parámetro de $ 1 $ de la forma $$ tilde A ^ mu (k) ~ = ~ frac tilde j ^ mu (k) k ^ 2 ~ + ~ ik ^ mu tilde Lambda (k). $$ Aparte del término fuente, esto es calibre puro.
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Estuche sin masa $ k ^ 2 = 0 $ y $ k ^ mu neq 0 $. La matriz $ M ^ mu _ nu $ es no diagonalizable. Solo hay valor propio $ 0 $ (con multiplicidad $ n-1 $). Maxwell ecs. solo es posible satisfacer si la fuente $ tilde j ^ mu (k) = tilde f (k) k ^ mu $ es proporcional a $ k ^ mu $ con algún factor de proporcionalidad $ tilde f (k) $. En ese caso Maxwell eq. convertirse en $$ -k _ mu tilde A ^ mu (k) ~ = ~ tilde f (k). $$ Introduzcamos un vector $ eta $ -dual $ ^ 1 $ $$ k ^ mu _ eta ~: = ~ (-k ^ 0, vec k) qquad rm para qquad k ^ mu ~ = ~ (k ^ 0, vec k). $$ Tenga en cuenta que $$ k _ mu ~ k ^ mu _ eta ~ = ~ (k ^ 0) ^ 2 + vec k ^ 2 $$ es solo el cuadrado de distancia euclidiana en $ k ^ mu $ – espacio de impulso. La solución completa es una solución de parámetro $ (n-1) $ de la forma $$ tilde A ^ mu (k) ~ = ~ – frac k ^ mu _ eta k _ nu ~ k ^ nu _ eta tilde f (k) ~ + ~ ik ^ mu tilde Lambda (k) ~ + ~ tilde A ^ mu _ T (k). $$ El término proporcional a $ k _ mu $ es calibre puro. Aquí $ tilde A ^ mu _ T (k) $ denota $ n-2 $ modos transversales, $$ k _ mu ~ tilde A ^ mu _ T (k) ~ = ~ 0, qquad qquad k _ mu ^ eta ~ tilde A ^ mu _ T (k) ~ = ~ 0. $$ Los $ n-2 $ modos transversales $ tilde A ^ mu _ T $ son los únicos dof físicos que se propagan (ondas electromagnéticas, campo de fotones).
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$ ^ 1 $ Las polarizaciones longitudinal y temporal son en el caso sin masa proporcionales a $ k ^ mu pm k ^ mu _ eta $, respectivamente.
Las ecuaciones se escriben para cualquier momento $ t $ y no es necesario “probar” su validez en ningún momento. Estas ecuaciones son las leyes experimentales y, por supuesto, son consistentes en cualquier momento. Las limitaciones se imponen aquí no a los campos, sino a las cargas eléctricas y magnéticas. Las cargas no tienen fuentes / sumideros, por lo que las ecuaciones derivadas como $ parcial rho / parcial t + rm div vec j = 0 $ dicen a saber que y se denominan leyes de conservación de carga. (Son un hecho experimental). Las leyes de conservación de la carga no determinan la dinámica de la carga; para los segundos existen las ecuaciones “mecánicas”. En el caso de un cargo elemental $ q $, su conservación significa su independencia en el tiempo: $ frac dq dt = 0 $ que generalmente no se escribe como una ecuación adicional, pero se usa como su solución $ q = const $ en las ecuaciones “mecánicas”.
Entonces tienes seis ecuaciones para campos y dos como leyes de conservación para cargas.
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