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Solución:
Creo que la respuesta breve es Sí; la respuesta parece ser bien conocida por el gran maestro del billar, el mismo Bunimovich. Ver http://www.scholarpedia.org/article/Dynamical_billiards y las referencias citadas allí.
El ejemplo anterior de billar rectangular con esquinas redondeadas tiene varios componentes ergódicos en la medida invariante, por lo que no es excepcionalmente ergódico. Pero mientras haya esquinas redondeadas (componentes de contorno de enfoque) habrá un componente ergódico continuo (wrt Lebesgue), mientras que otros, correspondientes a órbitas periódicas (familias), serán singulares.
Otros ejemplos de este tipo de mixed La medida invariable incluye el “hongo” que Bunimovich muestra como la Figura 3 en el artículo anterior; por lo tanto, no son ni completamente caóticos ni completamente regulares (el rectángulo nítido no sería hiperbólico). Un billar en tal hongo tiene una isla integrable formada por las trayectorias que nunca dejan la tapa, y es caótica y ergódica en su complemento. Un hongo se convierte en semiestadio cuando el ancho de los pies es igual al ancho del sombrero. Combinando hongos se obtienen ejemplos de billares con un número arbitrario (finito o infinito) de islas que coexisten con un número arbitrario (finito o infinito) de componentes caóticos (ver editar)
El resultado relevante se establece en Bunimovich, “Condiciones de estocasticidad del billar bidimensional” Caos 1, 187-193 (1991): Si los círculos a los que pertenecen los arcos están completamente contenidos en el billar, la dinámica es ergódica. Asi que
Sí, si los arcos redondeados tienen igual radio.
Si no, es fácil construir rectángulos para los que falla la condición anterior.
Conjetura: Hay un ejemplo con radios no iguales que no es ergódico.
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