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Solución:
La espuma de jabón tiene una dinámica de la que carecen los diagramas de Voronoi.
La red bidimensional de pompas de jabón evoluciona en el tiempo de acuerdo con la ley del área $$fracdAdt=k(n-6),qquadqquad
$$ donde $A$ es el área de una celda, $n$ el número de lados que tiene y $k$ un coeficiente determinado por la tensión superficial de las burbujas. Complementada por un mecanismo por el cual una celda puede cambiar su número de lados (cambiando de lado con un vecino o fusionándose con una celda pequeña), esta dinámica introduce una correlación aproximadamente lineal entre el área y el número de lados conocida como la ley de Lewis.
Estaba fascinado por esta dinámica hace muchos años, vea Espumas de jabón bidimensionales y redes policristalinas: ¿Por qué las células grandes tienen muchos lados? La siguiente gráfica muestra la correlación observada experimentalmente entre el área y el número de lados de las celdas (más y cruces) y dos teorías alternativas (curvas sólidas y discontinuas).
Entonces, para representar la espuma de jabón mediante un diagrama de Voronoi, sería necesario reproducir esta correlación numérica del lado del área. ¿Es eso posible?
Buscando en la web, encontré el artículo Mean-curvature flow of Voronoi diagrams de Elsey y Slepcev (2013), que considera la evolución de los diagramas de Voronoi impulsada por la curvatura. No me queda claro hasta qué punto esto es representativo de las redes físicas de películas de jabón.
la ley del area
se debe a John von Neumann (1951), y se deriva directamente del hecho de que la tasa de transferencia de masa (o área, para un gas incompresible) a través del límite es proporcional al perímetro $dl$ multiplicado por la diferencia de presión $delta p$, mientras que la diferencia de presión $delta pproptokappa$ es proporcional a la curvatura $kappa$ (ley de Young-Laplace). Tras la integración en todo el perímetro, encontramos $$fracdAdt=koint kappa ,dl=k(n-6),$$ según el teorema de Gauss-Bonnet. Sorprendentemente, no importa la forma de la burbuja ni la longitud de sus bordes, y tampoco importa si los bordes tienen una curvatura constante. Por lo tanto, cualquier celda de seis lados mantiene su área, independientemente de si está rodeada de celdas más pequeñas o más grandes.
Tenga en cuenta que esto solo funciona en dos dimensiones, porque en tres dimensiones la diferencia de presión es proporcional a la curvatura media, mientras que el teorema de Gauss-Bonnet da la curvatura de Gauss. Hay una generalización (debido a Avron y Levine, 1992) a una red en una superficie curva, como una cúpula de radio $R$, $$ fracdAdt=kleft(n-6+ 3A/pi R^2derecha).$$
Hay dos buenas conexiones con las generalizaciones de los diagramas de Voronoi que conozco.
Moukarzel demostró que las pompas de jabón 2D son una partición de Voronoi multiplicativa seccional (SMVP), es decir, rebanadas (secciones) 2D de un diagrama de Voronoi generalizado (multiplicativo) 3D donde cada fuente $f_i$ tiene un peso $a_i$ de modo que una celda $Omega_i$ en el diagrama consta de todos los puntos $x$ tales que $d(x,i)/a_i
En segundo lugar, Eppstein demostró que los gráficos formados por burbujas 2D son precisamente los 3 multigrafos planos regulares sin puente. Que estas condiciones sean necesarias no es demasiado difícil de ver a partir de las leyes de Plateau para el equilibrio de la espuma. Para mostrar que cualquier multigrafo de este tipo se puede realizar como una burbuja 2D de equilibrio, Eppstein utiliza una construcción que implica una especie de diagrama de Voronoi en el modelo de disco de Poincaré del plano hiperbólico.
(Ref. 12 es el muy relacionado “Planar Lombardi Drawings for Subcubic Graphs” también por David Eppstein)
Le pregunté a Eppstein sobre la conexión entre las dos construcciones en un comentario aquí, pero nunca tuve la oportunidad de resolverlo en detalle por mí mismo.
Esto parece estar modelado por las “redes más cortas” en las que Frank Morgan había llevado a cabo un proyecto de investigación de pregrado. Una breve descripción (2 páginas) está en:
F. Morgan, Geometría de Riemann. Una guía para principiantes, Jones y Bartlett Boston 1993. Las referencias allí son:
F. Morgan, Pompas de jabón compuestas, redes más cortas y superficies mínimas, video AMS 1992,
C. Adams D. Bergstrand, F. Morgan, Proyecto de investigación de pregrado The Williams SMALL, tendencias de la UME, enero de 1991. F. Morgan, Superficies mínimas, cristales, redes más cortas e investigación de pregrado. Matemáticas. Intelligencer 14 (1992), no. 3, 37–44.
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